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参数估计的变分模态分解在滚动轴承故障分析中的应用


马洪斌 刘建 王振平
 (国网枣庄供电公司 山东枣277000)
摘要:滚动轴承故障诊断的关键在于对轴承振动信号的分析,提取其特征信息。变分模 态分解(Variational Mode Decomposition,VMD)作为一种新的自适应分解方法在机 械故障诊断中获得了广泛的关注。在应用变分模态分解对振动信号进行处理时,需要事 先确定模态数及惩罚项参数,这两个参数的选择通常是通过人的经验知识获得,具有很 大的随机性。本文提出了对两个参数进行估计的方法,利用经验模态分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)不需预先设定模态数的自适应分解特点,通过对 EMD 分解 结果的分析,对 VMD 模态数进行估计,利用包络熵反映着信号的稀疏性,通过对包络熵 极小化估计 VMD 的惩罚项参数。通过仿真和实验验证该方法的有效性。 关键词:变分模态分解;经验模态分解;包络熵;参数估计
中图分类号:TH133.3
Application of Variable Mode Decomposition of Parameter
Estimation in Fault Analysis of Rolling Bearing
Ma hong bin, Liu jian, Wang zhen ping
(State Grid Zaozhuang Power Supply Company Shandong Zaozhuang 277000) Absrtact: the key of rolling bearing fault diagnosis lies in the analysis of bearing vibration signal and the extraction of its characteristic information. As a new adaptive decomposition method, variable mode decomposition (VMD) has been widely concerned in mechanical fault diagnosis. When using the variational mode decomposition to deal with the vibration signal, it is necessary to determine the modal number and penalty parameters in advance. The selection of these two parameters is usually obtained through the experience of human knowledge, which has great randomness. In this paper, we propose a method to estimate the two parameters. Using the adaptive decomposition feature of EMD, which does  not need to set the mode number in advance, we estimate the VMD mode number by analyzing the EMD decomposition results. The envelope entropy is used to reflect the sparsity of the signal, and the penalty term parameters of VMD are estimated by minimizing the envelope entropy. The validity of the method is verified by simulation and experiment.
Key words: Variational Mode Decomposition; Empirical Mode Decomposition; Envelope Entropy; Parameter Estimation

0 绪论 
经验模态分解是一种自适应的分解方 法,提出之后得到机械故障诊断领域相关学 者的认可和广泛的关注。一些专家将 EMD 应 用到滚动轴承故障特征提取上获得了较好 的效果[1-3]。EMD 方法实质上是一个二进制滤 波器组,这种信号频域分割的特性使得 EMD 在处理滚动轴承故障信号时存在弊端[4]。EM D 是采用了极值点的包络求取方法,包络估

计误差经多次递归分解被放大,易出现模态
混叠的现象[5]。 
2014 年 Dragomiretskiy 等人提出了一 种新的自适应的信号处理方法—变分模态 分解[6],该方法通过迭代搜寻变分模型最优 解来确定每个分量的频率中心及带宽,能够 自适应地实现信号的频域剖分及各个变量 的有效分离[7]。 
虽然 EMD 存在模态混叠的现象,但是不 需要事先确定分解的模态数,而变分模态分

解之前需要确定分解的模态数及惩罚项参 数,以往使用变分模态分解对信号处理时往



n1
u 


 
f ()  ik     i () 



()

2

往是根据人的经验选择,因此具有很大的随 机性和误差。将 EMD 与 VMD 结合,先对信号

k     (  )




12(k )

 2

        (3)                 

uk ()   d

进行 EMD 分解,然后对结果分析,选择 VMD 分解的模态数。包络熵是对信号稀疏程度的 一种刻画表示方法,求信号的包络熵,进行 最小化可以估计变分模态分解的惩罚项参

0
n1 
k  2
0     uk ()   d                    (4)                 3)根据(5)式更新  : 

数[8-11]。 
1 变分模态分解 

n1


n
() 

 n1
()  [ f ()  uk
k

()]


 (5)                 

变分模态分解在变分框架内将信号分 解成 k 个模态函数,目标函数是使得 k 个模

4)给定判别精度 e>0,若满足判别条
n1 n   2 n   2

  

态的带宽之和最小,约束条件是所有的模态

件 uk
k

uk

uk    <e , 则 停 止 迭

函数之和等于初始信号。VMD 算法在获取模
态函数时通过搜寻约束变分模型最优解来 实现信号自适应分解,每个模态函数的频率 中心及带宽在迭代求解变分模型的过程中 不断更新,最终可根据实际信号的频域特性 完成信号频带的自适应分解,得到若干模态

2 2
代,否则返回(2)式重复。 2 包络熵 
定义信号的包络熵: 

N
Ep  pi lgpi

函数。假定将原始信号分解成 k 个模态函数, 则对应的约束变分模型表达式如下: 

i1


N

                   (6)                 

  j 2 
 t k 

pi   a(i) / a(i)
i1

min
uk k k
s.t.uk     f

[((t) 

)* u (t)]ejkt
t

                  (7)                 
                               
a(i) 是信号经过 Hilbert 解调后的包络

k (1)       
信号; pi 是归一化的形式; Ep 是包络熵。 

式中:uk   u1 ,..., uK  代表 k 个模态函数,
k   1 ,...,K  代表模态函数的中心频 率。 
    为解决上述问题引入二次惩罚项 和 拉格朗日乘法算子 (t) 将约束性问题转化
为非约束性问题,即增广 Lagrange 函数: 


包络熵反映了信号的稀疏特性。信号稀 疏性越强,包络熵越小;反之,信号稀疏性 越弱,包络熵越大。滚动轴承早期故障信号 经 VMD 处理后,若得的本征模态函数分量中 包含的噪声较多,故障周期性特征分量不明 显,信号稀疏性较弱,包络熵较大;分量中 故障特征信息多,波形中出现规律性周期脉

L({uk },{k }, ) :
k
2

[((t) j   u (t)]ejkt
t 2

冲,信号的稀疏性较强,信号的包络熵较小。 当参数 (k,) 选定不同的参数值时,经过

  f (t)  uk (t)   
k 2

(t), f (t)  uk (t)
k

 (2)  

VMD 分解得到的所有的包络熵,将最小的一

利 用 交 替 方 向 乘 子 算 法 求 取 增 广

个称为局部极小熵值,这组分量为含有故障

Lagrange 函数鞍点,具体实现如下:        特 征 信 息 的最佳分量。最小的包络熵对应的

1 1

(k,) 也就是要确定的参数值[12]。 

1)初始化{uk },{1 },{}和 n;      
k

2)根据(3)和(4)式更新 uk 和 k ; 

3 故障诊断的流程及仿真 


Empirical Mode Decomposition











 


图1 故障诊断流程图 





图 4 EMD 分解 

为了验证基于 EMD 分解和包络熵估计 VMD 分 解两个参数的正确性,通过构造仿真信号进 行验证。仿真信号主要由轴承故障产生的冲 击信号和故障信号(模拟早期故障的白噪声 信号)组成。 
x(t) s(t) n(t)                        (8) 
s(t) Ai h(t iT i )



IMF1
5
0
-5
0 5000 10000       15000
采样点
IMF2
2
0
-2
0 5000 10000       15000
采样点
IMF3
2
0
-2
0 5000 10000       15000
采样点

1
0
-1




100
50
0



100
50
0



100
50
0



100
50
0



IMF1包络谱


0 500 1000 1500
频率/Hz IMF2包络谱


0 500 1000 1500
频率/Hz IMF3包络谱


0 500 1000 1500
频率/Hz IMF4包络谱

i

( ) Ct  sin(2 )

            (9) 

0 5000 10000       15000
采样点


IMF5

0 500 1000 1500
频率/Hz


IMF5包络谱

h t  e

fnt

             (10) 


1
0
-1
0 5000 10000      15000
采样点


100
50
0



0 500 1000 1500
频率/Hz

Ai   1A0  sin(2frt)

             (11) 


IM6
1
0
-1
0 5000 10000      15000



100
50
0


IMF6包络谱


0 500 1000 1500

式中: s(t) 为周期脉冲冲击信号; A0

=0.3 为幅值初值; fr =30Hz 为转频;C=500



0.5
0
-0.5



0.5
0
-0.5

采样点
IMF7


0 5000 10000      15000
采样点
IMF8



100
50
0



100
50
0

频率/Hz IMF7包络谱


0 500 1000 1500
频率/Hz IMF8包络谱

为衰减系数;

fn  =2000Hz 为共振频率;

0 5000 10000      15000
采样点

0 500 1000 1500
频率/Hz



fi  1 / T 80 为故障频率; n(t) 为高斯白

噪声信号。采样频率为 fs =12kHz。 

图 5 EMD 分解模态数及其包络谱 

7


6


5


4
1 5

3
0.8 4

0.6 3 2


2
0.4
1
0.2
0
0
-1
-0.2
-2



1


0


-1
0 500       1000       1500       2000       2500       3000       3500      4000
惩罚项参数


-0.4


-0.6


-0.8








0           0.1          0.2          0.3          0.4          0.5          0.6         0.7
时间/t


-3

-4

-5
0          0.1          0.2          0.3          0.4          0.5          0.6       0.7
时间/t

图 6 包络熵随惩罚项参数变化曲线 由以上的 EMD 分解得到的模态函数及其
包络谱可以看出前 6 个模态的包络谱中包含

 图 2 周期脉冲信号  图 3 故障仿真信号 

一些明显的频率成分。因此将 VMD 分解的模

态数选为 6。从包络熵随惩罚项参数变化的 曲线可以看出,在惩罚项参数选择为 400 时, 包络熵最小。用已经得到参数的 VMD 对仿真 信号进行分解。 

技术得到的。功率计用来控制负载水平,装 在电动机外壳上的加速度传感器用来测取 振动信号。外圈直径 2.0472 英寸,内圈直
径 0.9843 英寸,滚动体直径 0.3126 英寸,


IMF1
2

0

-2
0 500 1000
采样点
IMF2
2




100

50

0



100


IMF1包络谱


0 500     1000    1500     2000
频率/Hz IMF2包络谱

厚度 0.5906 英寸,滚动体节径 1.537 英寸 
(1 英寸=2.54 厘米)。 以内圈故障为例进行试验验证,内圈故
障的特征频率计算公式如下: 


0

-2
0 500 1000
采样点
IMF3
2

0

-2
0 500 1000
采样点

IMF4
2

0

-2


50

0



100

50

0




100

50

0





0 500     1000    1500     2000
频率/Hz IMF3包络谱


0 500     1000    1500     2000
频率/Hz IMF4包络谱

fi (r / 60)(1/ 2)n(1d / D cos) (12) 式中: fi  :内圈故障特征频率;r:轴
承转速;n:滚珠个数;d:滚动体直径;D:
轴承节径;:滚动体接触角。 经计算可以得到内圈故障的特征频率

采样点

频率/Hz

为 162.18Hz。 

0 500 1000

0 500     1000    1500     2000


IMF5
2

0

-2
0 500 1000
采样点
IMF6
2

0

-2
0 500 1000



100

50

0



100

50

0


IMF5包络谱


0 500     1000    1500     2000
频率/Hz IMF6包络谱


0 500     1000    1500     2000


1.5



1  

0.5



0



-0.5

采样点

频率/Hz

图 7 VMD 分解模态函数及其包络谱 
IMF3包络谱
100



80



60



-1



-1.5








0        100      200      300      400      500      600      700      800      900  1000
采样点

图 9 内圈故障振动信号图 


40 Empirical Mode Decomposition


20


0
0  80 1602403204004805606407208008809601040112012001280136014410520160016801760184019202000
频率/Hz
图8 最佳分量包络谱 

由 VMD 分解的结果可以准确地得到故障 仿真信号的特征频率,对比 VMD 与 EMD 可以 看出 VMD 在抑制模态混叠上效果更好。结果 也表明利用 EMD 和包络熵对 VMD 参数进行估 计具有很好的可靠性和准确性。 
4 实际故障信号分析 







图 10 EMD 分解模态函数及剩余分量 

为验证以上所提出方法的有效性,对滚 动轴承模拟故障平台实验振动数据进行分 析。试验台由 2 马力的感应电动机、转矩传 感器和功率计组成。待测试轴承的驱动端支 撑电机轴,驱动端轴承的型号为 6205-2RS JEM SKF 深沟球轴承,钢球数 9 个,接触角 90 度,轴承在 0 负载运行状态下,旋转速度 为 1797r/min。轴承的故障是通过放电加工



2
0
-2



0.5
0
-0.5



0.5
0
-0.5



0.1
0
-0.1


IMF1


0 500 1000
采样点
IMF2


0 500 1000
采样点
IMF3


0 500 1000
采样点
IMF4


0 500 1000
采样点



100
50
0



100
50
0



100
50
0



100
50
0

IMF1包络谱


0 500 1000 1500
频率/Hz IMF2包络谱


0 500 1000 1500
频率/Hz IMF3包络谱


0 500 1000 1500
频率/Hz IMF4包络谱


0 500 1000 1500
频率/Hz

图 11 EMD 分解模态函数及其包络谱图 

0


-1


-2


-3


-4


-5


-6


-7
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
惩罚项参数
  图 12 包络熵随惩罚项参数变化曲线图 由以上的 EMD 分解得到的模态函数及其 包络谱可以看出前 4 个模态的包络谱中包含 一些明显的频率成分。因此将 VMD 分解的模 态数选为 4。从包络熵随惩罚项参数变化的
曲线可以看出,在惩罚项参数选择为 200 时, 包络熵最小。用已经得到参数的 VMD 对仿真 信号进行分解。 

参数模态数和惩罚项参数进行估计。实验结 果表明 VMD 分解可以对信号进行完全地分 解,模态函数经包络分析,从信号的包络谱 中可以得到信号的特征频率。 
5 结论 
VMD 分解相对于 EMD 分解在抑制模态混 叠方面有很好的效果。VMD 是一种完全的分 解,分解得到的模态函数包含了频率从高到 低的所有部分。但是 VMD 分解是一种在变分 框架内下分解形式,需要事先确定分解的模 态数和惩罚项参数。 
基于 EMD 分解不需要事先确定分解模态 数的优势,将信号先经过 EMD 分解,根据分 解的结果分析 VMD 分解的模态数。基于包络 熵反应了信号的稀疏性,振动信号的分析也 就是找到周期性的故障信号,因此可以利用 包络熵估计 VMD 分解参数惩罚项系数。仿真


0.5
0
-0.5



1
0
-1



0.5
0
-0.5



1
0

IMF1


0 500 1000
采样点
IMF2


0 500 1000
采样点
IMF3


0 500 1000
采样点
IMF4


100
50
0



100
50
0



100
50
0



100
50

IMF1包络谱


0 500 1000 1500
频率/Hz IMF2包络谱


0 500 1000 1500
频率/Hz IMF3包络谱


0 500 1000 1500
频率/Hz IMF4包络谱

和实际的故障信号实验都表明利用该方法 对 VMD 参数估计具有较高的可靠性和准确 性。
参考文献 
[1] 卿川,王海宝,傅余等.基于 EMD 与匹配追踪的轴承故障诊断[J].现代

-1
0 500 1000
采样点
IMF5
0.05
0
-0.05
0 500 1000
采样点
IMF6
0.05
0
-0.05
0 500 1000
采样点
IMF7
0.01
0
-0.01
0 500 1000
采样点
IMF8
0.01
0
-0.01
0 500 1000
采样点

0
0 500 1000 1500
频率/Hz
IMF5包络谱
100
50
0
0 500 1000 1500
频率/Hz IMF6包络谱
100
50
0
0 500 1000 1500
频率/Hz IMF7包络谱
100
50
0
0 500 1000 1500
频率/Hz IMF8包络谱
100
50
0
0 500 1000 1500
频率/Hz

制造、工艺装备,2017,(1):23-25.
[2] 贺彬,刘泉.基于 EMD-MPE 与 HMM 的滚动轴承故障诊断[J].组合机床与 自动化加工技术,2016,(12)76-80. [3] 张浩东,任学平.EMD 与能量算子解
调在轧机齿轮箱故障诊断中的应用[J]. 内蒙古科技与技术,2016,(23)87-89. [4] 万书亭,詹长庚,豆龙江.滚动轴 承故障特征提取的 EMD-频谱自相关方

   图 13 VMD 分解模态函数图及其包络谱 

法  [J]. 振 动 、 测 试 与     诊



100


80


60


40


20


0


IMF2包络谱


0 162 324 486 648 810 972        1134        1296       14518500
频率/Hz

图 14 最佳分量包络谱 

断,2016,36(6)1161-1167.
[5] 李富香,张韡.EMD 技术在机械震动 故障中的诊断方法[J].舰船科学技术, 2016,38 ( 10A ) : 154-157. [6]DRAGOMIRETSKIYK,ZOSSOD.Variati
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由以上的 VMD 分解结果可以得到基于
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[7] Amitha Viswanath, Jyotsna Jose K. Spike Detection of Disturbed Power Signal using VMD[J].Procedia Computer Science,2015,46(1):1087-1094.
[8] 杨红柏,蒋超,石坤举等.基于变 分模态分解参数估计的滚动轴承故障 信息提取方法 [J]. 轴承, 2016,10 : 49-52.
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作者简介:第一作者,马洪斌,1991.07.06 男,籍贯:山东枣庄,研究生学历,毕业院校:北京 交通大学,研究方向:故障诊断。

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