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矩阵元素的均值关系与Jensen不等式

时间:2016-07-01来源: 作者: 点击: 139次

  (1.广州大学数学与信息科学学院,510006  2. 广州大学计算机科学与教育软件学院,510006)
  摘要: 非负实数矩阵中蕴含着优美有趣的对偶运算性质关系,用符号表示便是常见的著名不等式. 本文首先用 不等式证明了某些初等不等式,接着从凸函数的观点出发,运用 不等式证明了这些不等式,从而说明 不等式在证明某些不等式时往往能够起到化特殊技巧为通解通法的功效.
关键词: 不等式;凸函数; 不等式;待定系数法
1 预备知识
引理 1( 不等式) 在 非负实数矩阵中, 列的每列元素的算术平均值之几何平均值不小于其 行的每行元素的几何平均值之算术平均值,等号成立的条件是至少有一列都为零或所有行的元素成比例. 
该引理即是说, ,对于 矩阵
 
有                   .
化简即为                 .
凹函数和凸函数的定义 
定义 1 设 为区间 上的二阶可导导数,则在 上 为凸函数的充要条件是 , . 
定义2 设 为区间 上的二阶可导导数,则在 上 为凹函数的充要条件是  0, .
定义3(Jensen不等式)若 为 上的凸(凹)函数,则对任意        .   (1)
若在定义3中令 ,则可得到
定义4  设 是区间 上的凸(凹)函数,对 中任意 个数 ,则有
            .          (2)
若在定义3中取 则可得到
定义5  设 是区间 上的凸(凹)函数,对 中任意 个数 ,则有    .                      (3)
例 1 已知 满足 求证: .
证法 1:考虑 矩阵
 
由 不等式,有
 
即  故 
证法 2:设 ,易知 故 为凸函数.从表面上看本题似乎与Jensen不等式联系不大,但若向(3)式靠拢,将
 变成  ,取 再用(3)式有
   .
为了证明 则需使得上式右边 的系数比等于2:3.
即  ,取 则 .
代入上式计算可得
 
将 代入上式可得  故 .
例 2 已知   .求证: 
证法 1:考虑 矩阵 ,则由 不等式,有
 
即  故 
证法 2: 不等式. 
 
代入化简整理即证.
证法 3:设  ,易知 ,故 为凸函数. 
取 代入(3)式有
 .
令 .则 .代入上式可得   
  .

令 同时将 代入上式可得
 .
即 .  故 .
例 3 已知 且 求证: .
证法 1: 不等式,参考[2],从略.
证法 2:设 易知 ,故 为凸函数.
取 代入(3)式有
 .
在上式中令 
取 则 ,代入可得
 .
将 代入上式可得
 . 故 .
例 4 设 且 . 求证:
 .
证法 1:考虑 矩阵,
 
由 不等式,整理即证.
    下面我们将证明例4的推广. 设  且  求证:对于实数 或 ,有 
证法 2:由 不等式,有
 
考虑幂函数 , 当 或 时其为凸函数,由定义4(2)式可得
                                 故 
例5  已知 是正的常数, . 为锐角.试  的最小值. 
证法 1: 不等式,参考[2],从略.
证法 2:设 ,易知 为凸函数. 取 .
代人(3)式有
  .
令  ,则 .代入上式可得 . 
故    .
 故 的最小值为  .
注 1:以上例题归纳为:若 且 当 或 时,若令 ,易知其为凸函数. 若 已知,用同样的方法可求出 的最大值;若 已知,用同样的方法可求出 的最小值.当 若令 ,易知其为凹函数,同理值得注意的是:由于 之间与条件等式中高次项的系数对应成比例,故 的取值不唯一,为了便于计算,应适当调整系数,使计算简便.对于上述类型的题目,由于它是条件极植问题,故可用拉格朗日乘数法来处理该问题, 但计算可能会比较复杂. 事实上,用拉格朗日乘数法和黑塞矩阵也可以证明Jensen不等式.
注 2:以上类型例题用 不等式证明的关键是结合条件巧妙的构造出 矩阵,这是一大难点,而运用Jensen不等式可避免这一难点,它起到了化特殊技巧为通解通法的功效. 
参考文献 :
  沈文选.走进教育数学. 北京:科学出版社,2009.
  华东师范大学数学系.数学分析(上册).北京:高等教育出版社,2001.
  朱华伟,钱展望.数学解题策略. 北京:科学出版社,2009.

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