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基于Remez算法的正交小波滤波器设计

时间:2016-07-04来源: 作者: 点击: 216次


 



 

摘要: 本文提出了一种基于IIR滤波器的高阶消失矩正交小波基设计方法. 正交小波基可通过仿酉滤波器组生成.因此,正交小波基的构造问题是仿酉滤波器组的设计问题解决. 从小波的正交性和正则性条件, 可以得到一些约束IIR滤波器组的条件, 并且探讨约束滤波器系数及其零极点的关系. 根据这些关系, 可以直接将Remez交换算法应用于禁止带上, 并制定了设计特征值问题形式的问题. 因此,一组滤波器系数可以通过解它的特征值问题而容易地计算出来, 并且通过施加迭代过程后将得到等波纹响应的最优滤波器系数,该方法在计算上是有效的, 并且可以任意的指定消失矩的数目.

关键词:仿酉滤波器组; IIR滤波器; 特征值问题; 正交小波

Design of Orthonormal Wavelet Filter Banks Using Remez Exchange Algorithm

 

HUANG Yunhu1 ,  ABDUKIRIM Turghunjia1 , YMJIANG Dlimula2,  MJITI Glimire2;

LIU Fang-yuan2,  ZHANG Peng-jie2

(School of Mathematical Science, Xinjiang Normal University, Urumqi 830054, China)

 

[Abstract]: This paper presents a new method for constructing orthonormal wavelet bases with vanishing moments based on general IIR filters. It is well-known to us that orthonormal wavelet bases can be generated by paraunitary filter banks. Then, synthesis of orthonormal wavelet bases can be reduced to design of paraunitary filter banks. From the orthogonality and regularity of wavelets, we derive some constraints to IIR filter banks, and investigate relations between the constrained filter coefficients and its zeros and poles. According to these relations,we can apply Remez exchange algorithm in stops-band directly, and formulate the design problem in the form of an eigenvalue problem. Therefore, a set of filter coefficients can be easily computed by solving the eigenvalue problem, and the optimal filter coefficients with an equipped response can be obtained after applying an iteration procedure. The proposed procedure is computationally efficient, and the number of vanishing moments can be arbitrarily specified.

[Key words]:   paraunitary filter bank, IIR filter bank , eigenvalue problem,  orthonormal wavelet

 

 

1.  引言

   小波已在应用数学、信号处理、多分辨率分析理论等各个领域受到广泛关注.小波基可以通过完全重构二通道滤波器组的解决方案来完成1-4. 在本文中,考虑一个仿酉滤波器组,它在迭代时生成正交小波基. 通过利用有限的脉冲响应(FIR)滤波器或无限的脉冲响应(IIR)滤波器,可以实现仿酉滤波器组的使用.文献[2]中限制了FIR滤波器,导致了更一般的紧支撑小波.通过使用全通滤波器,滤波器组可以由较少的乘法器来实现. 然而,由两个全通滤波器并联所产生的传递函数是有限的, 并在[3]和[4]的设计方法中不能被用来产生具有高阶消失矩的小波基. 但消失矩显示生成的小波在时间上的平稳变化.

在本文中,提出基于传统的IIR滤波器的消失矩,构造具有高阶消失矩正交小波的方法.由于在合成小波正交基时减少了正交滤波器组的设计,所以只需考虑具有附加平坦度约束的IIR正交滤波器组的设计.从小波的正交性和正则性条件,得到了IIR滤波器组的约束条件,并研究了约束滤波器系数及其零极点之间的关系. 根据这些关系,可以发现,该积滤波器的幅度响应在通带和阻带之间反对称的.因此,可以直接在阻带之间运用Remez算法5,并制定特征值问题的形式设计. 通过得到的一组滤波器系数作为相应的特征向量. 通过求解特征值问题的以计算最小绝对特征值,然后用等波纹响应的最优滤波器系数可以容易地在一个迭代过程得到.上述提出的方法在计算上是有效的,而小波的消失矩阶数可以任意的指定. 最后,提出了一些设计实例证明上述方法的有效性.

2. 小波和滤波器组

   正交小波基可以由一个仿酉滤波器组来生成,其中是低通滤波器, 是高通滤波器[1]. 该滤波器组相关的尺度函数φ(t)和小波函数ψ(t)的二尺度关系在频域如下:

               (1)

从小波的正交性, 滤波器组满足以下的约束条件:

                             (2)

这里,引入乘积滤波器P(z)

                                              (3)

由公式(2)可知,P(z)是半通滤波器,因此我们考虑真正的半通滤波器的设计

P(z)的表示形式如下6,7:

                                 (4)

其中N,M是整数, 滤波器系数是实数. 注意,由于NM可以任意的选择, 传递函数比一个全通滤波器更一般[1].   

    易见, P(z)具有对称的滤波器系数. 因此,它的零点在单位圆或镜像对上, 如果零点在单位圆上则所有零点都是成对的. P(z)的分解零点以获得一个稳定的H(z). 假设P(z)的分子和分母分别为,而P(z)的所有极点在单位圆内, 得到稳定的H(z)

   和                  (5)

其中.

    显然,方程(5)满足方程(2)的约束条件, 因此我们必须设计一个低通滤波器. 所以设计问题将成为设计P(z), 在单位圆上的零点必须是双零点.尽管滤波器组在实际应用中从未被迭代到无穷大,但是要求其极限函数存在,并且具有正则性. 滤波器设计最简单的正则性条件是一个平坦性约束在处的幅度响应, 如果H(z)处包含k个多重零点,将得到k阶平坦度. 因而,满足如下条件:

 , k=0,1,...,K-1, k=0,1,...,K-1.

这意味着所生成的小波具有K阶消失矩,K阶消失矩意味着,无论是小波滤波器的频谱有更多的平滑度. 这个属性可能在一些实际应用中有用.当然,频率选择也作为许多有用的应用属性的思维定势,然而正则性的频率选择在某种程度上有些相互矛盾. 由于这个原因,我们考虑一个指定设计数目的具有最佳可能的频率选择性消失矩IIR滤波器.

3.  IIR滤波器组的设计

在本节中,我们将描述基于特征值问题的一个额外平整度约束的IIR滤波器即仿酉滤波器的设计.

3.1  性质

在设计滤波器前,研究乘积滤波器P(z)的设计,方程(4)P(z)可以写成如下形式:

                                (6)

其中L=max{2M,2N+1}, n=0,1,...M                   (7)

时,有 ,  n=M+1,M+2,...,N                      (8)

时,有 ,  n=N+1,N+2,...,M-1                 (9)

注意到当,在方程(6)中没有系数. 在方程(6)中可以看到P(z)共有2L个零点和4M个极点. 此处2(I1=L-N-M-1)零点满足公式(9)(10)的条件,而所有的顶点是用于满足公式(7)的条件,只有2(=M+N+1)个零点待优化.

可以从方程(4)中得到P(z)的幅度响应,通过下式

                      (10)

而从方程(2)中有

                  1

这就意味着P(z)的幅度响应是对称到(), 而波纹在带通[0,]等于一个在带阻[], 此外. 因此只需要通过定位2I2独立的零逼近阻带响应.

3.2  最大平坦响应滤波器

为获得阶数最大的消失矩,必须设计一个最大平坦响应滤波器. 因此, 需要找到处的独立零点,就是,而分子多项式

     

其中  与方程(6)相比较,有 (11)

  .

注意到,当时,从方程(8)中得到

               (n=M+1...,N)                    (12)

时,从方程(9)中有(n=N+1,...,M-1)。由于,从方程(7)中有,也就是                      (13)

而当时,通过解线性方程(13)(12)式,或者当时,解方程(13)式我们可以得到一组滤波器系数;或是当时,解线性方程(12)(13)式,通过解方程(11)(7)可以得出滤波器系数. 因此完成了最大平坦滤波器的设计,从而所得的滤波器系数,方程(5)(6)中的分解零点P(z)来构造H(z)G(z).然后生成尺度函数和小波函数ψ(t).

3.3  具有任意消失矩的滤波器

因为最大平坦滤波器不好选择生成正则小波的最大次数的消失矩. 所以在这里考虑一个在给定的连续K阶消失矩IIR滤波器具有最佳的频率选择性.

由于在处,H(z)K重零点,而P(z)的分子多项式可以表示为

                         (14)

其中

    类似于方程(11),                           (15)

其中 .

时,从方程(8)  (n=M+1,...,N)           (16)

而当时,从方程(9)  (n=N+1,...,M-1)    (17)

    我们知道P(z)共有个独立零点,而K必须满足,因此其余的独立零点数是, 并且要求它们位于单位圆上,以获得最佳频率选择;除了P(z)在单位圆上的零点位于共轭对上,要求是双零点.I3必须是偶数. 由于P(z)的幅度响应是反对称的,需要优化在阻带的幅度响应,为获得带阻等波纹响应,直接利用Remez交换算法制定P(z)条件中的广义特征值问题的形式[5]. 首先,选择频率极值中的的阻带如下

          

    考虑P(z)在单位圆上所有零点必须是成对的,构造出如下

                         (18)

其中是一个幅度误差,把方程(7)(15)代入方程(18), 可以重新写出方程(18),(17)(16)式的矩阵形式

                            (19)

其中,而S中的元素:当i=0,1,2,...,

时,有

                              (20)

时,有

                      (21)

其中当N>M时,有;当时,有

注意当时,有的元素:当i=0,2,...,时,有

               (22)

其它情况:  =0.                                         (23)

从方程(7)(15),有                                 (24)

其中V的元素:当i=0,1,2,...M时,有

                          (25)

把方程(25)代入方程(19), 可得

                                               (26)

这相当于一个广义特征值问题,即是一个特征值.为相应的特征向量. 尽量减小幅度误差,我们通过计算方程(26)式的特征问题的绝对最小特征值,然后根据相应的特征向量后得到一组滤波器系数,迫使幅度响应是等波纹的. 我们应用一个迭代过程以获得最优解.

4 小波滤波器的设计算法

  4.1设计算法步骤

1. 读取N, M, k

2. 在阻带等间隔选取频率的初始值 (i=0,1,...,).

3. 令.

4. 通过方程(20)-(23)(25)得出,,然后通过方程(26)找到方程的绝对最小特征值,以获得滤波器系数,而通过方程(15)(7)得出.

5. 计算P(z)的幅度响应,并寻找带阻的峰值频率,直到满足下述条件的规定小常数:.

6. 通过P(z)的分解零点和极点,构造H(z)G(z), 然后生成尺度函数和小波函数ψ(t).

  4.2 设计案例

   在本节中,提出了一些设计实例证明了该方法的有效性.

1. 考虑N=M=4情况的最大平坦滤波器设计. 所设计的滤波器H(z)的响应幅度具有最小相位响应. 如图1实线所示,并且所生成的尺度函数和小波函数分别如图2和图3所示. 在图1中,两个滤波器的幅度响应在图中也显示了N=3M=5,或N=5,M=3; M=3也在图中显示. 我们认为在图1中,三种滤波器的幅度响应基本相同,这是因为在=0和=时,这三种滤波器有相同的平坦度.

2. 考虑N=4M=5K=8的仿酉滤波器组的设计. 使用建议程序的积滤波器并构造H(z)G(z)具有最小相位响应,H(z)的幅度响应示于图4中的实线,而产生的尺度函数和小波函数分别如图5和6所示. 在图4中K=6K=10的两个幅度也在图中显示. 很显然减小K时,幅度误差将减小.

                  

1 1的归一化频谱图                  4 2幅值响应图

      

           2 1的尺度函数              5 2的尺度函数

 

         3 1 的 小波函数             6 2 的 小波函数

 

 

5. 结论

本文提出了一种新的构造高阶消失矩小波正交基方法.从小波的正交性和正则性中得出了IIR仿酉滤波器的一些制约因素, 并研究了约束滤波器系数及零极点之间的关系, 可以在带阻中直接利用Remez算法并制定了设计特征值问题的形式问题. 所以通过求解特征值,可以得到一组滤波器系数作为相应的特征向量. 因此与等波纹响应的最优滤波器系数可以容易地施加一个迭代过程后得到. 在计算上本方法是有效的,而小波消失矩的阶数可以任意的指定.

 

参考文献

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