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巧用解题策略 实现有效迁移

时间:2016-07-28来源: 作者: 点击: 169次

 


安徽省肥西县梁岗学校   赵立春   231201

义务教育《数学课程标准》(2011年版)(以下简称《标准》)指出,教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。因此解题教学也应该从学生的认知发展水平和已有的知识经验出发,让学生掌握的数学知识能以某种方式联系起来,并能够在数学问题的解决中发挥作用,实现思维的有效迁移。

1、渗透“模型思想”,实现思维有效迁移。

《标准》指出,义务教育阶段数学课程,应重视学生已有的经验,使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、建构数学模型、寻求结果、解决问题的过程,在数学解题教学中应当注重发展学生的“模型思想”。

1.1呈现“基本模型图”。

初中数学中有许许多多的图形类问题,如何从中捕捉到有利于解题的信息、从而实现思维有效迁移促使解题柳暗花明呢?笔者在解题教学中常常用到呈现“基本模型图”的策略。即在图形类问题中,用彩色粉笔描画出“基本模型图”(或用鲜艳颜色在课件中加以突出“基本模型图”)或擦去多余的线段(或用课件隐藏多余的线)来“滤留”“基本模型图”,让“基本模型图”清晰地呈现在学生面前,每个基本模型图在学生脑海里都会对应着一系列的数学现实,是实现从原有知识顺利地向解题目标迈进的有力助推剂。

案例1:(沪科版九年级上册第21章复习题B组第8题)如图1,已知反比例函数y1= QUOTE

 

 

 

 

X

 

1

 

y2

y1

B

D

O

A

x

y

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


分析:这是一道中等难度的反比例函数类应用题,在审题前,先引导学生勾画出试题中的关键词:反比例函数、平行、垂线等。接着要关注试题的待求量: QUOTE  ,这是一个求线段比值的问题,引导学生思考:我们遇到过哪些与求线段比值有关的思路呢?由此可以联想到相似比,想到了相似比,马上会考虑图中含不含有相似图形呢?仔细观察图形,从图形中发现“A”型图。同学们知道,“A”型图中包含有相似图形。此时学生们的思维立即迁移到“A”型图中来。然后在图中用有颜色笔描画出“A” ,图中呈现出清晰的“A”型图(如图2)。接下来要思考在“A”型图中利用哪些相关知识经验,才能求出 QUOTE  之值?能否把求 QUOTE  之值转移到求 QUOTE  之值呢?根据学习“A”型图时的数学经验我们知道,通过BD//CE可以得到 QUOTE  = QUOTE  ,那BD//CE吗?这就需要我们先证明 QUOTE  = QUOTE  ,接着再证明BD//CE。再结合原题中的反比例函数、平行及垂直等关键词很容易想到要到作辅助线:连接BOAODO,如图2,由反比例函数中k的几何意义,可以计算出SΔOBC= QUOTE   , SΔOAC= QUOTE   , SΔODE= QUOTE   , SΔOAE= QUOTE   ,所以SΔOBA= SΔOAC -SΔOBC=1, SΔOAD= SΔOAE - SΔODE =1。所以 QUOTE  。同理, QUOTE  = QUOTE  ,因此 QUOTE  。最后由“A”型图特点就可以求出 QUOTE  的值了。

案例2:如图3示,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点MN分别是边ABBC边的中点,MP+NP的最小值是多少。



A

C


 

 

 

 

 


 


分析:由题意可知,MN点是直线AC外定点,而P点是直线AC上的动点,现擦去多余的线段ADCDAB(除点M)、BC(除点N)、MPNP,则得到由线段ACAC上的P点及M点、N点组成的典型的“最短水管”问题的基本模型图(笔者在教学中称为“两点一线最短图”),如图4。也可以在原图中用颜色笔描画分离“最短水管”问题的基本模型图,如图5。思维可以跃迁到解决“最短水管”问题的解决思路上来:对连(谐音对联)。在原图中找到M点关于AC 的对称点M1,连接NM1,交ACP点,如图6NM1即为MP+NP的最小值。根据菱形的性质,我们很容易就能求出该最小值了。


1.2、建立“数学模型”。

《标准》指出,模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果、并讨论结果的意义。通过建立数学模型可以顺利实现有效迁移,为问题解决提供了有效的方法。

案例3:(沪科版九年级上册21.4二次函数的应用例4)行驶中的汽车,在制动后由于惯性,还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“制动距离”。为了了解某型号汽车的制动性能,对其进行了测试,测得数据如下表:

制动时车速/km.h-1

0

10

20

30

40

50

制动距离/m

0

0.3

1.0

2.1

3.6

5.5

     有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故,现场测得制动距离为46.5m,试问交通事故发生时车速是多少?是否因超速(该段公路限速为110km/h)行驶导致了交通事故?

分析:例题中给出了此题详细的分析和完整的解答,可以看出:教材通过建立平面直角坐标系,利用建立二次函数模型来完成问题解决。教材在分析中指出,要解答这个问题,就是要解决在知道了制动距离时,如何求得相应的制动时车速。题中给出了几组制动距离与制动时车速之间的关联数据,为此,求出制动距离与制动时车速的函数表达式是解答本题的关键。从表格中我们根本看不出制动距离与制动时车速之间的有何变化规律。我们知道,函数有三种表达方法:列表法、解析法、图像法。原题中用一个表格列举了部分制动距离与制动时车速的对应数据,反映了制动距离与制动时车速之间的函数关系,到底这是哪一类函数关系,具有哪一类函数的性质,这是我们迫切想得到的。这一类问题的常见思路是:通过在平面直角坐标系中以表格中的一个量为横坐标、以另一个量为纵坐标进行描点,然后观察这些点的变化规律判断表格中的两个量之间符合哪种函数关系,最后用待定系数法可以求出该函数关系式,利用这个关系式就可以解决一些相关的实际问题。以上思路就是建立函数模型来实现思维的有效迁移,从而实现成功解题的目的。

2、通过“正难则反”,实现思维有效迁移。

汽车在道路上根据需要可以倒车,同样在数学中有些动态类问题若按照正向思维难以顺利解题,如平移、旋转等,这时也可以模仿着“倒车”,从反方向入手,进行逆向思考,层层逼近,这样有利于思维的有效迁移,顺利完成解题。

案例4:(沪科版九年级上册习题21.212题)把二次函数y=x2+bx+c的图象先向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线y=x2,求bc的值。

解法1: y=x2+bx+c=(x+ QUOTE  2+c- QUOTE  ,把它的图象向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到y=x+ QUOTE  2+c- QUOTE  +2的图象,也就是函数y=x2的图象,所以

- QUOTE  =0

 c- QUOTE  +2=0             解得b=-8c=14.

解法2:把二次函数y=x2+bx+c的图象向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y=x2的图象,等价于把二次函数y=x2的图象向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到函数y=x2+bx+c的图象。由于把二次函数y=x2的图象向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到函数y=(x-4)2-2的图象,即y=x2-8x+14的图象,则函数y=x2-8x+14与函数y=x2+bx+c表示同一个函数,则解得b=-8c=14.

显然这两种解法反映了两种不同的思维方式,解法1直接利用条件进行正向的思维迁移来解决的,其运算量比较大,容易出现错误。解法2则是利用逆向思维迁移,将原来的问题进行等价转化,计算量相对减小,难度大大降低。正难则反是一种数学解题策略,能够实现思维的有效迁移,顺利完成解题。

3、编拟“数学口诀”,实现思维有效迁移。

义务教育阶段中许多数学试题的解答思路都有着统一的解题思维模式,即定势思维,为此,我们可以把这些定势思维编拟成“数学口诀”,让学生进行及时记忆并加以理解,在学生脑海里形成思维定势和数学经验(对于有固定思维模式的问题,形成定势是有利的),定势和经验能够促进思维的有效迁移,提高解题效率。

案例5、七年级上册第二章的“求代数式值”

分析:在这节的课堂小结中我先带领学生思考求代数式值类试题时所经历的过程:去括号、合并同类项等,然后再等量代换,于是我把解答此类试题总结为等价变形、等量代换的口诀,形成解答此类数学问题的基本经验。以后每遇到此类试题时,我就带领学生一起大声说出等价变形、等量代换口诀,久而久之,学生记忆深刻,遇到同样类型的问题时这个口诀立刻就会浮现在眼前,学生思路清晰,自然而然会想到先进行等价变形,然后再进行等量代换,实现思维的有效迁移,顺利完成解答。

案例6、求当m为何值时,关于x的方程x+2m-3=3x+7的解在210之间(包括210)?

学生独自解答这道试题时确有困难,于是我在教学时先要求学生认真阅读题目,并提醒他们注意问题中的关键字。接着问:什么的解?学生回答:方程x+2m-3=3x+7的解。教师又问:同学们,解怎么啦?学生回答到:解在210之间。在教师的引导下,学生很容易发现这道题应该从求方程x+2m-3=3x+7的解出发,于是老师要求学生把方程中的m看作已知数,要求学生对方程进行等价变形,求出x的值。即得x=m-5,然后根据解在210之间(包括210)列出不等式组:2m-510,最后再解这个不等式组,从而求出m的范围。此时,我带领同学们共同总结这道题的解题思路:这道题经历了三个过程,即先解原方程的解,再列不等式组,最后解所列不等式组,我把这个过程简称为解列解,让学生记住解答此类问题的“解列解口诀,再让学生进行适当训练巩固,从而在学生脑海里形成解决此类问题的解题经验,促进思维的有效迁移。

总之,在解题中实现思维有效迁移的策略,除了呈现“基本模型图”、建立“数学模型”、通过“正难则反”、编拟“数学口诀”等此外,我们还需要在数学解题过程中不断地挖掘出更多更有效的解题策略,提供更好的让学生在解题中大显身手的方法,有利于学生逻辑思维的发展,从而极大地提高数学解题能力。

 

参考文献:

[1]新时代数学编写组.义务教育教科书.数学(九年级上册)[M].上海科技出版社,2014

[2]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2012.

[3]赵立春.一次函数模型的应用”的难点剖析及教法改进[J].中学数学教学参考(中旬),2015(1-2)-

[5]曹一鸣,张生春.数学教学论[M]北京:北京师范大学出版社2010.8

 

 

 

 

作者简介:赵立春(1973—),男,中学数学一级,合肥市骨干教师、优秀教师,曾获安徽省第七届自然科学优秀学术论文三等奖,在《中小学数学》、《中学数学教学参考》、《中国数学教育》等杂志发表论文多篇,主要从事农村数学课堂教学研究。

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