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准对称单偶阶幻方的一种构建方法

时间:2016-07-28来源: 作者: 点击: 66次


    本文用奇数阶幻方与“2阶”的相乘法,选用等差级数和Z字形笔划顺序对数字作布局,然后对行和列分别作必要的调整(调整细节都经优选),最后获得了较难构建的“准对称单偶阶幻方”。文中共构建了4个幻方,但其方法可推广到更高阶的单偶阶幻方。

单偶阶幻方是指阶数为2(2n+1)的幻方,式中n≥1。它包括6阶、10阶、14阶、18阶等这一系列的幻方。

对称幻方是指幻方中凡与中心对称的任意两个数之和皆相等。但是数学家们已证明单偶阶幻方不存在对称幻方。本文所探究的是除极个别的数(不大于2对)无法实现中心对称外,要使幻方中所有其它数都实现中心对称,即每对数之和均相等。笔者把这样的幻方称为“准对称幻方”。

在某些书中有介绍“斯特雷奇法”、“LUX法”,以及“拉伊尔法”等,可构造单偶阶幻方,但都未能实现“准对称”。

与奇数阶幻方、双偶阶幻方相比,构建单偶阶幻方是比较难的。再加上“准对称”的要求,工作量会比较大。

一、构建原理

对2(2n+1)而言,就是2乘以2n+1。具体点说,比如2×3,或2×5。对于幻方来说,也有相乘法。虽然“2阶”只能是2×2的方格而不成为幻方,但仍可利用它与3阶幻方、5阶幻方“相乘”而设法得到一个6阶幻方、10阶幻方。不过相乘后要作一些调整。调整时相邻的数字可能需要作上下交换、左右交换、斜角交换、交叉交换,甚至还可能要三、四个相邻数字作(换位)交换。为此,这里要设定一些符号,比如:


3 代表斜角交换,4 代表斜角交叉交换。

1 代表三角(换位)交换,具体点说该三角交换是把原来的6变成7。大致会用到这五种交换法。

在调整过程中,不但要选取最简单的方法,而且要按中心对称的原则对称地调,比如在左上方作了一处调整,那么在右下方与中心对称的位置也要作相应的调整,这样才能争取实现幻方的对称性。

此外,在选用大家熟知的奇数阶幻方时都要选对称幻方;在2阶方格中布局时也应考虑对称,即对角线上每对数之和应相等,这样才有可能实现“准对称”。

二、前期准备

1、选用经典的奇数阶对称幻方图

幻方由于构建的方法不同,每一阶都可以有成千上万个结果,甚至以亿计。本文只对每一阶作一个结果,但可以由它派生出若干个来。由于是用相乘法来构建,所以先要选择一个奇数阶对称幻方,选得不同就会出不同的结果,本文只选人们比较熟知的奇数阶幻方。由于后文要用到,所以这里就把所选用的3、5、7、9阶幻方依次给出,见图1至图4。该四图全属对称幻方。

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斜排法所得的5阶幻方

 

斜排法所得的7阶幻方

 

1  杨辉的3阶幻方

 

 


3

 


3

 

 

 

 


3
2、一格分四格填入基准数

建幻方前先要准备格子。因为是用与“2阶”的相乘法,所以6阶幻方要先准备3阶的大格子,10阶幻方要先准备5阶的大格子,以此类推。

12以6阶为例,先在3阶的9个大格子中都划上十字,形成6×6的小格子,然后按图1中9个数的布局填入9个大格子中 的某个小格子中(填入不同的位置会有不同的结果),笔者一律填在左上角。最后在填“1”的田字格中按Z字的笔划顺序填入级差为9的等差级数共3个数。(10阶幻方使用级差为25,n阶幻方使用级差为  )。也可以按图形1字笔划或图形1字笔划顺序来填数,结果也就不同,但Z字形是优选出来的,效果好。全部过程见图5。其它阶幻方可模仿制作。

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图5   6阶幻方的准备过程

三、构建6阶幻方

1、建6×6原始方阵

模仿图5(c)中 3 的填法,在其它8个田字格中也都填上等差级数的3个数,见图6。此方阵并未达到幻方要求,仅两条对角线上6个数之和皆为111,已符合幻和值,且有中心对称的特点,但行和列的方向尚未达标。为此,要先后对行和列作调整。

 

5

 

2、作行的调整

比较偶数行与上邻奇数行的6对数字后可发现上、下相邻两数皆差18,如果相邻两行上下间都交换3对数就可使每行的6个数之和皆相等;列的情况与此相似,但相邻两数只差9,左右也需要交换3对数。

在5种交换法中斜角交叉交换法有个优点,它既使行之间交换了2对,又使列之间也交换了2对数,可以使调整量减少,不过要想一次就把行和列全部调整好暂时还有点困难,只能先调整行,再调整列,分两步走。

经过不同方案的比较,决定选择图7的方案比较理想。按此方案调整的结果见图8。从图中可看出,不但两条对角线的幻和未破坏,而且各行6数之和也都等於111。说明行的调整已完成。

 

6    7

 

由于调整的方案是对中心对称的,所以凡与中心点对称的任意两数之和仍保持为37。

3作列的调整

根据图8,可找出列的调整方案。第1、2列共需增减18,第3、4列共需增减9,第5、6列共需增减18。有多种调法,现选定图9的方案,共3处作左右交换。调整最后结果见图10。

9   10

图10即最后完成的6阶幻方。在列调整时第3行和第4行左右两侧的调整是中心对称的,但第5行的交换已无法对中心对称,这也就是单偶阶幻方无法实现对称幻方的缘由。

第五行的两个数虽然无法实现中心对称,但与第2行对应的两个数却有对横轴对称的特点,即10+27=37和1+36=37。除这两对外,其它各数全部符合中心对称。因此,可把这样的幻方称为“准对称幻方”。

6阶幻方的幻和为111,对称两数之和为37。

4、派生的6阶幻方

对称幻方为它的派生创造了条件。派生的办法很多。

比如:(1)第1行与第6行交换;(2)第1列与第6列交换;(3)第2行(列)与第5行(列)交换;(4)第2列与第5列交换,同时第3列与第4列交换……

现就第(4)种派生办法试作一下,交换后见图11(a)。该幻方仍是一个准对称的6阶幻方。可见,由一个准对称幻方可以派生出多个准对称幻方来。

11

     图11(a)   派生的6阶幻方

下面再作一次有意义的派生:

(1)在图10的基础上,将第1、第2列互换,第3、第4列互换,第5、第6列互换。换完后仍是一个准对称6阶幻方。

(2)接着将第1、第2行互换,第5、第6行互换。换完后也仍是一个准对称6阶幻方。

18(3)现在中下田字格中已是     ,由于上下两数之和皆为29,所以,把此田字格中的左右两列互换一下是不影响幻和的,所得仍是一个准对称6阶幻方,但它已成我国古代数学家杨辉的6阶幻方阴图了。见图11(b)。

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图11(b)  派生后所得的杨辉6阶幻方阴图

5、行调整与列调整合二为一的调整方法

45132前面曾提到“想一次就把行和列全部调整好暂时还有点困难”,但现在可以进行了。办法就是将图7与图9合并起来。重点是解决第3、4行左右侧的两个田字格。问题在于图9不是在图6原始方阵的状态作出的,而是按图7进行了斜角交换后进行的。因此,根据图6中的     和图10中的     可确定其调整方案应为     。同理,右侧田字格中应为     。这样,行、列双向一次调整完的方案就可作出了,见图12。

有了此图后,只要把原始方阵的数按该图作完调整,幻方就完成了。结果与图10完全相同。

此后,其它单偶阶幻方均可照此法处理。

四、构建10阶幻方

1、建10×10原始方阵

参考图5和图6的方法,但这里是使用图2的5阶幻方。在田字格中按Z字笔划顺序填入1至100的100个数,每个田字格中都是级差为25的等差级数,形成10×10的原始方阵,见图13。

 

 

 

 

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图13  10×10原始方阵

2、建立行、列同时调整的方案

过程与6阶类同,方案不止一个,本文优选其中一个。细节从略,方案见图14(读者不妨自己试排一下此图)。

 

14

 

 

 

 

 

 

 


图14  10阶幻方调整方案

3、10阶幻方调整结果

把图13原始方阵的数按图14的方案调整完,10阶幻方就构建成了。见图15。


Y

 

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图15   10阶幻方调整结果

 

该幻方的幻和为505,除了中心田字格上下的82与19,7与94这两对数属横轴对称外,其余各数均有中心对称性质,两数之和皆为101,可谓准对称幻方。对应的行(或列)作交换后可形成新的准对称10阶幻方。当涉及横轴对称的两对数时,对应行(或列)的交换要谨慎。

五、构建14阶幻方

1、建14×14原始方阵

参考图5和图6的方法,但这里是使用图3的7阶幻方。在田字格中按Z字笔划顺序填入1至196的196个数,每个田字格中都是级差为49的等差级数,形成14×14的原始方阵。见图16。

 

 

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图16  14×14原始方阵

2、建立行、列同时调整的方案

过程与6阶同,方案不止一个,笔者优选其中一个。细节从略,方案见图17(读者也可自行试排)。

伍叔图

图17   14阶幻方调整方案

Y

 


X

 

3、14阶幻方调整结果

把图16原始方阵的数按图17的方案调整完,14阶幻方就构建成了。见图18。

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图18   14阶幻方调整结果

该幻方的幻和为1379,除了中心田字格上下侧的115和82,164和33这两对数属横轴对称外,其余各数均有中心对称性质,两数之和皆为197,可谓准对称幻方。对应的行(或列)作交换后可形成新的准对称14阶幻方。当涉及横轴对称的两对数时,对应行(或列)的交换要谨慎。

六、构建18阶幻方

18阶幻方是本文中数据量最大,调整工作最繁琐的幻方。前面10阶、14阶幻方的调整细节从略了,但本节将把全部细节叙述完善,以便以后构建更高阶准对称单偶阶幻方时可以参考。

1、建18×18原始方阵

使用图4中杨辉的9阶幻方,画81个田字格(即18×18的方格),将1至81这81个数字按图4的布局分别填入81个田字格的左上角。在田字格中按Z字笔划顺序全部填入级差为81的等差级数(每个田字格中添3个数),填满后形成18×18的原始方阵,共324个数。见图19。

Y

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107

44

125

62

143

19

100

37

118

55

136

24

105

42

123

60

141

188

269

206

287

224

305

181

262

199

280

217

298

186

267

204

285

222

303

71

152

8

89

53

134

64

145

1

82

46

127

69

150

6

87

51

132

233

314

170

251

215

296

226

307

163

244

208

289

231

312

168

249

213

294

图19   18×18原始方阵

此方阵两条对角线上18个数之和皆等於2925,已符合幻和值,且有中心对称的特征,但行和列的方向均未达标。为此,要先后对行和列进行调整。

2、作行的调整

比较偶数行与上邻的奇数行数字后,可发现上下相邻两数皆差162。如果相邻两行上下间都交换9对数就可使每行的18个数之和皆相等;列的情况与此相似,但左右相邻两数只差81,左右也需要交换9对数。

为减少调整工作量,原则上可考虑每2行(列)间作4个斜角交叉交换,再单独作1个行(列)交换,就应完成行(或列)的调整,个别处可另行处理。

先作行的调整。经过不同方案的比较,决定选择图20的方案比较理想,交换位置全符合中心对称。比较特殊处是第9、第10行,这里无法安排4个斜角交叉交换,也无法使7个上下交换全与中心对称,只有现在这样布局才能达到行调整的要求。

20

图20  18阶幻方的行调整方案

按此方案调整的结果见图21。图中不但对角线上的幻和未破坏,而且行调整也完成,幻和为2925。

由于调整的方案是中心对称的,所以凡与中心点对称的任意两数之和仍保持为325。只是列方向尚未达标。


Y

 

274

193

76

157

256

175

36

117

81

324

18

99

272

191

74

155

254

173

112

31

238

319

94

13

198

279

243

162

180

261

110

29

236

317

92

11

22

103

283

202

58

139

270

189

207

126

306

225

20

101

281

200

56

137

184

265

121

40

220

301

108

27

45

288

144

63

182

263

119

38

218

299

310

229

4

85

292

211

72

153

9

252

54

135

308

227

2

83

290

209

148

67

166

247

130

49

234

315

171

90

216

297

146

65

164

245

128

47

30

111

318

237

12

93

275

194

239

158

257

176

34

115

322

241

16

97

192

273

156

75

174

255

113

32

77

320

95

14

196

277

160

79

178

259

183

102

201

120

219

138

23

185

284

203

59

221

25

268

43

286

61

X

304

21

264

39

282

57

300

104

266

122

41

140

302

187

106

205

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223

142

66

147

246

165

48

129

311

230

5

248

293

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70

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250

169

52

133

228

309

84

3

210

291

149

68

167

86

131

50

232

313

88

7

214

295

278

197

80

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260

179

28

109

235

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10

91

276

195

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159

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98

17

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271

73

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172

253

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33

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96

15

26

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37

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217

24

105

285

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60

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188

269

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44

224

305

100

19

199

118

136

55

186

267

123

42

222

303

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233

8

89

296

215

64

145

163

82

46

127

312

231

6

87

294

213

152

71

170

251

134

53

226

307

1

244

208

289

150

69

168

249

132

51

图21   18阶幻方行调整结果

3、作列的调整

从图20中可看出:第1、2列间,第3、4列间,第5、6列间以及第13、14列间,第15、16列间和第17、18列间已作过(且仅作过)8对数字交换,所以都只要再交换1对左、右数字即可;对第7、8列和第11、12列而言,因为出现过一次斜角交换,给行调整解决了问题,但给列调整增加了调整量,所以都要再交换2对左、右数字(每对数字之差为81);剩下第9、10列情况更特殊,左、右间只作过1个斜角交叉交换,所以交换工作量和难度都要大些。针对行调整时作过8对上、下交换的情况,可选择出5对左、右交换的方案,其中4对是互相对称的,第5对已无法对称。全部列调整方案绘于图22中,无法对称的这对数是造成无法实现对称幻方,而只能做到准对称的根源。

22

图22  18阶幻方的列调整方案

将图21按图22的方案作调整后,可得图23,即18阶幻方的最后结果(如果调整位置的选择不同,将会有不同的结果)。

该幻方的幻和为2925。除了中心田字格上、下侧相邻的两对数属横轴对称外,其余所有与中心对称的两个数之和皆为325,横轴对称的两对也是,因此该18阶幻方可称为“准对称幻方”。

X

通过对应行(或列)互相交换的办法可以产生很多个新的18阶幻方,而且有可能保持为准对称幻方。当涉及横轴对称的两对数时,对应行(或列)的交换要谨慎。


Y

 

274

193

76

157

256

175

36

117

324

81

18

99

272

191

74

155

254

173

112

31

238

319

94

13

198

279

243

162

180

261

110

29

236

317

92

11

103

22

283

202

58

139

270

189

126

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306

225

20

101

281

200

56

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40

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263

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38

218

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229

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4

292

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72

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9

252

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227

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83

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166

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49

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297

216

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128

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30

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275

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322

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16

97

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75

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32

320

77

95

14

196

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259

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201

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23

185

284

203

59

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25

268

43

286

61

X

304

21

264

39

282

57

300

104

266

122

41

140

302

187

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205

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223

142

66

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246

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48

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311

230

5

248

293

212

70

151

250

169

52

133

228

309

84

3

210

291

149

68

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86

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50

313

232

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7

214

295

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276

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233

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6

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71

170

251

134

53

226

307

244

1

208

289

150

69

168

249

132

51

图23  18阶幻方调整结果

 

4、行、列调整合二为一的调整方案

图20和图22是可以合并的,唯有第9、第10列比较特殊些,因为有5处是在上、下交换后作左、右交换的。在6阶幻方中已使用了三角交换的符号,现再对该两列第1、2行的四个数说明一下。在图19中它们是02 ,但调整完以后在图23中已变成01,其中243位置未变,另外三个数都按顺时针方向作了换位,所以交换的符号应为03。其规律是“后交换的符号先划箭头,箭头指向先交换的符号一个端点,它的另一端就可划箭头了,最后划第三个交换符号,并用箭头封闭”。按此规律,就可绘出18阶幻方行、列同时调整的方案图。见图24。

把图19原始方阵中的数按图24的方案调整完后,18阶幻方就建成了,结果与图23完全一致。

24

图24   18阶幻方调整方案

 

本文共介绍了四个单偶阶幻方的构建方法,理解其精髓后,可推广到更高阶的单偶阶幻方,而且也是准对称的。

 

 

参考书目:

1、中国古算解趣    郁祖权     科学出版社   2004.10

2、幻方及其他(第二版)吴鹤龄  编著  科学出版社   2004.10

 

本刊创刊于1982年,是由自治区科技厅主管、自治区科技信息研究院主办,由自治区科技情报学会协办、国内外公开发行的省级综合性科技刊物,是反映内蒙古自治区科技与经济发展的窗口。杂志入选《中国期刊全文数据(CJFD)》全文收录期刊和《中国学术期刊综合评价数据(CAJCED)统计刊源期刊,《中国核心期刊(遴选)数据库》收录。本刊是公开发行的综合性科技期刊,为月刊,大16开本。本刊坚持以科技创新为目标,融科技、经济、信息、产业、市场为一体,是促进科技成果转化、推动科技进步、加强技术创新,促进经济发展的专业性期刊。