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例谈数学解题中的“联想与构造”

时间:2016-09-05来源: 作者: 点击: 63次

     湖北省长阳清江民族初级中学  覃孟平

数学联想是学生探索数学题解思路时,由问题的图形、文字、已知条件等要素的特征而联想出相应结论或此题的解答过程的心理过程,它是沟通题设与结论的桥梁,是创造性思维的起点.通过联想进行有效的构造辅助线或形成解题思路,可以使繁杂的数学解答过程更直观、简洁、简单.数学联想与构造的目的是培养学生体会数学各知识点间的内在联系和相互转化, 而数学模型的构造是数学联想的外在形式,通过构造数学模型来展示与表现数学联想的过程或结果.可以说数学联想是发散性思维的基本形式,是创新思维的基因.思维过程有了想象的参与,智力才能得到发展,这样的思维才有价值.正如伟大的科学家爱因斯坦所说的:想象力比知识更重要,因为知识是有限的,而想象力概括着世界上的一切,推动着进步,并且是知识进化的源泉.”

我们在教学实践中,经常会遇到学生在解题时,左思右想还是不识庐山“真面目,面对要解决的问题茫然无知,不知道解决问题的思维入口.在学生苦思不得其解时,我们教师要及时引导学生:没读懂题目?条件不完整?忽略了某个条件?条件与结论无法建立联系?条件与结论的特征是什么?等等,我们要一个个进行分析.其实导致学生解不出来的因素众多,有智力的和非智力因素,但最主要的是面对的问题的原貌超出了学生平时经常训练的题型,即超出了学生思维的最近发展区,恰在这时,我们就要引导学生跳出常规方法、常规思维,通过合理的联想和巧妙的构造,挖掘出条件与结论的内在联系,多角度思考并找到解决问题的方案.

如何由联想到构造,现以我在中考复习教学时的一个热门动点问题来进行分析.

如图1,在等腰 ABC中,AB=AC,D为线段BC上的动点,DHAB,DEACBFAC,垂足分别为H ,E,F.试探究线段DHDEBF之间的数量关系.  

DHDEBF三线段的位置,要将它们进行方便的比较,就要想方法将它们放在“一起:即一直线上,即方法一:截长补短法,如图2,延长EDFB的垂线于G,得矩形BGEF,易证 DHB≌△ DGB,得BF=GE=DG+DE=DH+DE.这种解法较常规,较多的辅助线让几何图形变复杂了,但解题思路变得简单了.

   

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    由DHDEBF三线段分别是所在三角形的高, 于是联想到三角形的面积,

从而产生面积法.即方法二:连接AD,则S△BDA+S△ADC=SABC.

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,而边AB=AC所以DH+DE=BF.

      

         

 

 

 

 

 

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由高线联想到直角三角形,由直角三角形又联想到三角函数.

于是产生

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方法三:由解直角三角形的正弦定义来解,如图4,Rt BHD中有

DH=BDsinHBD, Rt DEC中,有DE=DCsin∠C, Rt BFC中,有

 BF=BCsin∠C.而∠HBD=C所以有DH+DE= BDsinHBD+DCsinC=DC+BDsinC =BCsinC.于是得DH+DE=BF.

    动点问题是学生很害怕的一类题,总觉得,一点在动,则涉及到的图形形状,相应边的关系以及相应角的关系都在变化.既然变化就有不等关系,自然就有函数关系,就有分类思想等,在这时学生就有点懵,其实在点动的时候,一定要抓住相关没有动的要素做文章.如此题,没有动的有“垂直”和“等腰三角形”这两个要素,上面的解法就是利用了这两个不变的要点.其实这两个要点还隐藏着三角形相似,即△BDH∽△CDE∽△CBF,有,两式相加,得,即DH +DE =BF.

由此可见,当学生学习过程中遇见不熟悉的问题时,要善于观察与把握题设与结论的特征,用联想建立条件和结论间的逻辑联系,由此巧妙构造数学模型(辅助线等),从而找到解题的最优方案.构造与联想都是对学生多元思维能力的培养,教师长时间引导学生去大胆联想、多角度构造,久而久之,学生分析问题的能力,解决问题的能力,以及创新性思维就可以逐步养成.

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