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平行弦内错角、长度、距离的关系推论

时间:2016-10-27来源: 作者: 点击: 40次

王梓航、吕昊澄

(云南  昆明  昆明长城中学2016届(1)班)

 

1、摘要

在一个圆内的两条平行弦,它们之间的距离(弦间距)与它们的长度和连接两端点所形成的内错角大小有怎样的关系?(等腰梯形及梯形中连接对角线所形成的内错角角度与两底长和高之间有何关系?)由原云南昆明长城中学2016届(1)班学生王梓航和吕昊澄合作对此问题进行了探究。运用了初中各类几何和代数知识,经过不懈努力,终于得出了结论:(此结论暂以“平行弦内错角、长度、距离的关系推论”命名)

“平行弦内错角、长度、距离的关系推论”内容:在圆内,连接两条平行弦的两个相对端点所形成的内错角,其角度满足:

tan  =

H=

(为该内错角角度,a、b分别为两平行弦长度,H为两弦之间的距离(即弦间距),d为该圆直径)

下面我们就将其进行系统的推导论述与应用举例。

关键词:平行弦(长) 内错角(角度) 正切函数 弦间距

2、推论推导

下面是平行弦内错角、长度、距离的关系推论的推导,方法不唯一,在此只演示我们所用方法的推导过程:

2.1、弦长ab,弦间距H与内错角之间关系的推导

首先我们来推导推论中a、b、H、之间的关系:

如图1,AB、CD是圆O中的两条平行弦,连接端点A、D,B、C,AD交BC于G,内错角D=,AB长a,CD长b,AB、CD之间的距离为H。要求a、b、H、之间的关系。

已知弦间距H,我们就想过G作GE⊥AB于E,GF⊥CD于F。如果GE+GF就等于弦间距,那么说明GE、GF在同一直线上。所以第一步就要证明GE、GF在同一直线上。

证明:AB平行于CD(已知)

(两直线平行,内错角相等)

AC=弧AC(已知)

(同弧所对的圆周角相等)

(等量代换)

AG=BG,CG=DG(等角对等边)

GE⊥AB,GF⊥CD(已知)

GE平分(等腰三角形三线合一)

(角平分线定义)

AD、BC相交于G(已知)

(对顶角相等)

(等量代换)

AG、DG在同一直线上(已知)

GE、GF在同一直线上

即直线EF

GE⊥AB,GF⊥CD(已知)

EF=H(弦间距定义)

得到EF=H后,就要把a、b、H联系起来。就用那两个很明显的相似三角形吧。

接上。(已证)

△ABG△CDG(两角对应相等,两三角形相似)

GE⊥AB,GF⊥CD(已知)

(相似三角形对应高的比等于相似比)

AB=a,BC=b(已知)

(等量代换)

GF=x

GE=(等式性质)

GE+GF=EF(已知),EF=H(已证)

+x=H(等量代换)

x=(等式性质)

GF=

现在很明显我们可以表示出在直角三角形DFG中的正切值中GF的长,还需在表示出DF的长。

接上。CG=DG(已证),GF⊥CD(已知)

GF为CD边上的中线(等腰三角形三线合一)

DF=CD(中线定义)

CD=b(已知)

DF=(等量代换)

至此,就可以表示出的正切值,化简后得出结论。

接上。GF⊥CD(已知)

GFD=90度(垂直定义)

Rt△DFG中,GFD=90度

tanD=

=(已知)

tan=(等量代换)

tan =

2.2、弦间距H与弦长ab和直径d之间的关系推导

但是,实际中,也有H为未知量,已知圆的直径(或半径)和弦长的情况。那么,H与直径d、与弦长a、b之间的关系又如何呢?

在圆中,两条平行弦可以在圆心异侧或在圆心同侧,两种情况中弦间距H是不同的。因此要分两种情况考虑:

1)、如图2,当两弦位于圆心异侧时,要推导H与直径d与弦长a、b之间的关系,首先要连接半径,即连接OB、OD。要有弦间距H,就要过O作OE⊥AB于E延长EO交CD于F。我们首先需要证明EF=H。

证明:OE⊥AB(已知)

OEB=90度(垂直定义)

AB平行于CD(已知)

OEB+OFD=180度(两直线平行,同旁内角互补)

OFD=180度-90度=90度(等式性质)

 OF⊥CD(垂直定义)

EF⊥CD

OE⊥AB(已知)

EF⊥AB

EF=H

EF=OE+OF(已知)

H=OE+OF(等量代换)

接下来,只需要用a、b、d分别表示OE、OF,后化简即可得出结论。

接上。

OE⊥AB(已知),OF⊥CD(已证),OE、OF过圆心(已知)

BE=AB,DF=CD(垂直于弦的直径平分弦)

OEB=OFD =90度(垂直定义)

AB=a,CD=b(已知)

BE=a,DF=b(等量代换)

OB、OD为半径,且直径=d(已知)

OB=OD=d(圆的半径为直径的一半)

Rt△OBE和Rt△OFD中,OEB=OFD =90度

OE= , OF= (勾股定理)

OE=OF=(等量代换)

H=OE+OF=(等量代换)

2)、如图3,当两弦位于圆心同侧时,同“1)”可证OE=OF=

H==

综上“2、”所述,我们可以得到下面的推论:

“平行弦内错角、长度、距离的关系推论”:在圆内,连接两条平行弦的两个相对端点所形成的内错角,其角度满足:

tan  =

H=

(为该内错角角度,a、b分别为两平行弦长度,H为两弦之间的距离(即弦间距),d为该圆直径)(如图4)

 

3、应用

“平行弦内错角、长度、距离的关系推论”的前提条件是两条弦平行,如果我们构造出一个以这两弦为上下底的圆内接四边形,则这个四边形是等腰梯形(如图5)。理由如下:

AB平行于CD(已知)

梯形ABCD(有一组对边平行的四边形是梯形)

  AD=弧BC(平行弦所夹两条弧相等(平行弦定理))

AD=BC(在同圆中,相等的弧所对弦相等)

等腰梯形ABCD(两腰相等的梯形是等腰梯形)

因而“平行弦内错角、长度、距离的关系推论”不仅可以用于圆内的平行弦,还可以用于等腰梯形相关计算。因梯形的面积公式为S=,(a+b)和H都是推论中的量,所以该推论对有关梯形面积计算也有帮助。下面就对其应用举例:

3.1  推论运用于圆内接梯形(等腰梯形)面积计算

由梯形面积公式S=及推论tan  =可得S=和S=,可应用于计算圆内接梯形(等腰梯形)面积计算,或是已知面积和其他几个量,求另外一个量。例如下题:

如图6,圆O的内接梯形ABCD中,AB平行于CD,高为3,AOD=60度,则梯形ABCD的面积为()。

思路:要应用“平行弦内错角、长度、距离的关系推论”,我们要构造内错角。即连接AC。现在ACD就是。

AD=弧AD,AOD=60度(已知)

ACD=AOD=30度=(同弧所对圆周角等于圆心角的一半)

 tan  =,且H=3(已知)

 tan 30度=(等量代换)

==(等量代换)

S===9(等量代换)

因此,此题的正确答案为:9

解决此类问题,只需构造出内错角,确定已知量,并写出式子代入已知量,化简解出未知量即可。

3.2应用于计算一些等腰梯形的相关元素

解决此类问题,可先抽象出外接圆,后用上面的方法解答。

例:如图7,等腰梯形ABCD中,AB平行于CD,对角线BD⊥BCAB=2。若BC:BD=M,则CD=()。(用含M代数式表示。)

思路:由BD⊥BC可得DBC=90度(垂直定义),所以tanBDC=BC:BD=M。因DBC=90度,所以CD就是这个等腰梯形外接圆的直径(90度圆周角所对的弦是直径)。所以此时公式中的b就是d。现在就可以写出公式并代入已知量。即:

tan BDC==M

H=。

经过化简即可得

CD=d=

4、推广探索——“广义‘平行线内错角、长度、距离的关系推论’”

经过上面的推导与论证,我们已经得出了在圆内两条平行弦(圆内接梯形)或是等腰梯形中弦长a、b,弦间距H与内错角之间的关系。那么,如果是平面内任意两条平行线(不等腰梯形)中,平行线长(上下底长)a、b,平行线间距(高)H,与两组不等内错角、之间又存在着怎样的关系呢?继推导平行弦内错角、长度、距离的关系推论后,我们又探究了其更加普遍化的规律,并初步获得结论。即

广义‘平行线内错角、长度、距离的关系推论’”:(如上图8 )

 tan  +tan =* tan * tan 90度,90度)

 

推导:如上图9梯形ABCD中

已知:AD//BC,AD长为a,BC长为b,AE、DF为以BC为底梯形的高且高为H。

连接AC,BD形成内错角∠α和∠β。

探索α、βa、b、H间的关系。

 

证明(方法不唯一):如上图10

平移对角线BD至AB’AC至DC’,得AB’//DB,AC//DC’。

∠α’ =∠α∠β’=∠β

由题意得:AD//BB’   AD//CC’且AB’//DB,AC//DC’

可得平行四边形ABB’D和平行四边形 ADC’C

∴AD=BB’=a    AD=CC’=a

∴B’C’=BB’+BC+CC’=b+2a

∵AE⊥BC,DF⊥BC

∴∠AEF=∠DFE=90°

 AE//DF

∵AD//EF

∴平行四边形AEFD

∴EF=AD=a

∴B’E+C’F=B’C’-EF=a+b即C’F=a+b-B’E

在直角三角形AB’E和直角三角形DC’F中,∠AEF=∠DFE=90°

tanα’ =AE/B’E,tanβ’=DF/C’F

tanα=H/B’E①,tanβ=H/(a+b-B’E)②,

由①H=tanα*B’E③,由②H=tanβa+b)-tanβ*B’E④,

由③-④得(tanα+tanβB’E=tanβ(a+b)

∴B’E=tanβ(a+b)/(tanα+tanβ)⑤

将⑤带入③H=tanα*tanβ(a+b)/(tanα+tanβ)

得出结论tanα+tanβ=(a+b)/H*tanα*tanβ

“广义‘平行弦内错角、长度、距离的关系推论’”的应用仍在探索之中。

5、总结

“平行弦内错角、长度、距离的关系推论”内容:在圆内,连接两条平行弦的两个相对端点所形成的内错角,其角度满足:

tan  =

H=

为该内错角角度,a、b分别为两平行弦长度,H为两弦之间的距离(即弦间距),d为该圆直径。(如上图4)

由上述推论扩展得到广义‘平行线内错角、长度、距离的关系推论’”:

 tan  +tan =* tan * tan 90度,90度)  (如上图8)

其中显示的规律,可由此启迪探究更多的奥秘。

6、声明

    此文中的推导过程运用的都是初中数学课本内容及个别扩展知识,涉及推论内容是自行推导得出,例题为作者自行编辑,解题方法为作者自行总结,没有抄袭其他文章。

 

 

 

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