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等分圆周内接四边形计数问题

时间:2016-11-28来源: 作者: 点击: 153次

(浙江绍兴鲁迅中学 312008) 郑建雄

(1)研究了等分圆周内接三角形计数问题,即圆周上等分点组成三角形个数、等腰三角形个数、直角三角形个数、锐角三角形个数和钝角三角形个数等计数问题。本文归纳总结等分圆周内接四边形计数问题, 即圆周上等分点组成四边形个数、等腰梯形个数、矩形个数和正方形个数等计数问题,供大家参考。

一、偶数等分圆周内接四边形计数问题

不妨设圆周等分点个数为,如图(1)所示,设各分点分别为(依逆时针方向),因为圆周被等分,所以为圆的直径,且关于直线对称

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                    (1)                              图(2)

1)偶数等分圆周内接矩形的个数问题

因为圆内接矩形对角线是两条直径,如图(1),圆周被等分,为圆的直径,共有条直径,从中任取2条不同的直径为对角线可组成一个矩形,所以2等分圆周内接矩形有个。

2)偶数等分圆周内接正方形的个数问题

因为圆内接正方形两对角线互相垂直,圆周被等分,圆心角也被等分,内接正方形每边所对应的圆心角等于900,即

所以等分圆周内接正方形存在的充要条件是等分圆周。

如图(2),圆周被等分,依次得正方形

由(1)得代入,所以等分圆周内接正方形有 个。

3)偶数等分圆周内接等腰梯形的个数问题

如图(3)等分圆周,依次为个等分点。

因为以为上底(上底边长小于下底边长)的圆内接等腰梯形依次为

,共有()个,且长度为的不同上底有条,所以上底长度等于的圆内接等腰梯形个数为个;

同理,为上底(上底边长小于下底边长)的圆内接等腰梯形依次有

,共有()个,且长度为的不同上底有

条,所以上底长度等于的圆内接等腰梯形个数为个;

…………

 

 

 

 

 

为上底(上底边长小于下底边长)的圆内接等腰梯形有1个等腰梯形,且长度为的不同上底有条,所以上底长度等于的圆内接等腰梯形个数为个;

所以等分圆周内接等腰梯形有个。

二、奇数等分圆周内接四边形计数问题

1)奇数等分圆周内接矩形的个数问题

因为圆周被+1)等分,所以圆周上任何两点的连线都不关于圆心对称,奇数等分圆周内接形的个数为0

2)奇数等分圆周内接正方形的个数问题

因为圆周被(+1)等分,所以圆周上任何两点的连线都不关于圆心对称,奇数等分圆周内接正方形的个数为0。

3)奇数等分圆周内接等腰梯形的个数问题

如图(4),(+1)等分圆周,依次为(+1)个等分点。

因为以为上底(上底边长小于下底边长)的圆内接等腰梯形依次有,

,共有()个,且长度为的不同上底有条,所以上底长度等于的圆内接等腰梯形共有个;

同理,以为上底(上底边长小于下底边长)的圆内接等腰梯形依次有

,,

,共有()个,且长度为的不同上底有

条,所以上底长度等于的圆内接等腰梯形个数为个;

…………

 

 

 

 

 

为上底(上底边长小于下底边长)的圆内接等腰梯形有有1个等腰梯形,且长度为的不同上底有条,所以上底长度等于的圆内接等腰梯形个数为个;

所以等分圆周内接等腰梯形有个。

 

参考文献

(1)等分圆周内接三角形计数问题》(《中等数学》2007年第11期)

 

浙江省绍兴鲁迅中学郑建雄,大学毕业,中学数学高级教师,2009年浙江省高考状元班主任、数学任课教师;2009年被教育部授予全国优秀教师和全国优秀班主任;出版教育参考书4部,省级刊物发表论文20余篇 

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