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基于差分演化算法的H∞控制器设计

时间:2016-11-28来源: 作者: 点击: 83次

 

吴智鑫

(桂林航天工业学院,广西,桂林,541004

摘要:控制系统设计问题通常可以描述为控制系统的某些性能指标的最优化问题, 将闭环系统性能指标要求表示为目标函数应用差分演化算法研究H∞控制器设计问题,本文提出一种基于差分演化算法的H∞控制器设计方法,将控制器设计问题转化为函数优化问题,运用差分演化算法容易实现、收敛速度快、鲁棒性强等优点进行控制器的求解。与已有的 LMI( 线性矩阵不等式) 方法相比较,基于差分演化算法获得的H∞控制器,具有更好的鲁棒性能。

关键词:差分演化;H∞控制器;LMI

 

Wu zhixin

Guilin University Of Aerospace Technology,guangxi,guilin,541004

H∞ controller design based on differential evolution algorithm

Abstract: The control system design issues can often be described as controlling certain system performance optimization problem, the closed-loop system performance requirements expressed as the objective function. Application of differential evolution algorithm H∞ controller design is proposed H∞ controller design method based on differential evolution algorithm, the controller design problem is transformed into function optimization using differential evolution algorithm is easy to implement, fast convergence, robustness, etc. to solve the controller. Compared with the existing LMI (LMI) method, H∞ controller is based on differential evolution algorithm obtained better robustness.

Keywords: differential evolution; H∞ controller; LMI

 


自上世纪五十年代以来,动态系统优化控制理论已发展成为现代控制理论的一个重要分支一最优控制理论。最优控制理论在系统工程、人口控制理论、经济管理和决策以及航空航天等领域都发挥了重要的作用。

进入上世纪八十年代后,随着鲁棒控制理论的兴起,使系统具有较强鲁棒性的H∞优化控制理论应运而生。控制就是在保证系统稳定的同时能将干扰对系统性能的影响抑制在一定的水平之下,即控制对象关于干扰具有鲁棒性。在控制能量相同的情况下,控制要比经典的最优控制策略拥有更好的性能。加拿大学者Zames[]1981年建立了频域方法上的优化控制理论并首次用明确的数学语言来描述了基于经典设计理论的优化设计问题,同时他也提出了用传递函数阵的范数来表述优化指标:

        1)

其中为闭右半平面上解析的有理函数阵,表示传递函数阵;表示最大奇异值,即

G的共扼转置阵,为最大特征值。性能指标定义为Zames提出了使达到最小的问题,但是没有给出行之有效的解法。直到1984年,他和Francis用古典的函数插值理论,给出了这种的设计问题的最初解法[]

求解控制器设计问题的传统方法一般为LMI法研究较多[]LMI方法以其高效的求解方法已引起控制界关注, 成为鲁棒控制分析与设计的重要方法。LMI 本质上反映的是约束关系,它可以灵活地将闭环系统的各种约束关系用矩阵不等式描述,特别适合于控制问题。近年来,在控制器的求解上。引入一种新兴的进化计算技术称为差分演化(differential evolutionDE)算法[]~[],该算法是由StornPrice1995年提出,最初是尝试解决Chebychev多项式拟合的问题,是一种通过引入独特的差分变异算子进行随机搜索个体,迭代优化的算法。文献[]将差分演化算法与LMI 混合算法来解决混合控制问题,DE算法用来得到控制器的样本,LMI方法用来最小化系统的性能指标。

本文提出的DE算法求解控制器,将控制器K矩阵的各元素编码成DE算法的个体,为待求解参数,设置误差函数性能指标为目标函数,将控制器设计问题转化为函数优化问题,可直接对控制器进行求解。通过仿真算例对确定系统进行求解,并与LMI求解的控制器仿真结果做对比,进一步验证了该方法的有效性,并具有较好的鲁棒性能。

问题描述

考虑如图1所示的系统。其中为控制输入信号,为观测量,为外部输入信号,为被控输出信号。由输入信号到输出信号的传递函数称为广义被控对象。为控制器。

设传递函数阵的状态空间实现由下式给出,即

             2)

对于系统(1),设计一个H∞输出反馈控制器,满足:

               3)

其中:是控制器的状态,是待确定的控制器参数矩阵。

将控制器(2)应用于系统(1)后得到的闭环系统是

 

  (4)

则式(3)可以写成

             5)

 

1  标准H∞控制问题

的闭环传递函数等于

   6)

定义:(最优控制问题)对于给定的广义被控对象,求反馈控制器使得闭环传递函数内部稳定且最小,即

基于差分演化算法的设计思想

目前,引进一种新的进化算法称为差分演化(differential evolutionDE)算法[]~[],该算法是由StornPrice1995年提出,最初是尝试解决Chebychev多项式拟合的问题,是一种通过引入独特的差分变异算子进行随机搜索个体,迭代优化的算法。差分演化具有以下优点:首先,差分演化算法显示了在多峰值、综合和非线性函数优化问题上的稳定性;其次,在相同的精度,差分演化的收敛速度快;第三,差分演化尤其擅长解决多变量函数优化问题;最后,差分演化算法的操作和编程简单,易于实现。

差分演化是类似于遗传算法的整体结构。主要差别是变异操作。差分演化使用一个扰动向量的两个成员加到第三个成员上,产生一个新的向量[]。新的矢量混合使用预定义的参数按照一定的规则来产生测试向量,这个操作称为交叉。如果测试向量的函数值小于目标函数,测试向量继续产生下一代的目标向量。最后的选择是在所有成员产生下一代相同数量的竞争向量上操作。在进化过程中,评估每一代的最佳矢量是记录这个过程函数值。

差分演化的基本步骤可以描述如下:DE始于一个N实值向量的初始种群。向量与真实值初始化随机产生的,因此它们均匀地分布在N空间。后者的初始化会得到更好的优化结果。在优化过程中DE生成新的向量扩展现有成员成为扰动向量。算法随机选定的两个基向量(或更多)其他成员的比例差向量为了生产新的试验向量。试验向量与现有种群的成员数量相同称为目标向量。如果某个试验向量有更好的函数数值则代表一个更好的解决方案

差分演化是最好的进化算法求解实值测试函数的算法之一。从1996年到现在,差分演化算法取得了巨大的发展和广泛应用。在实际应用中譬如人工神经元网络、图像优化处理、模式识别设计、机器人制造、生物医学、农业化生产、送变电优化、食品安全检测、气象监测和运筹管理等。尽管差分演化算法在各领域得到了广泛的应用,但相对于其他进化算法来说,它的研究成果分散,缺乏综合性与系统性,尤其是在理论研究上还未有重大突破。因此,本文对DE算法及其研究成果进行较全面的概述,重点介绍了复杂条件下DE算法的若干研究问题和控制参数设置,与其他算法对比的优缺点,并给出未来值得关注的研究方向。.

基于DE算法控制器设计

4.1   算法基本流程

差分演化算法操作包括突变,交叉和选择算子,大多数集中在变异操作的改进。主要思想使用一个全新的扰动向量的两个成员加到第三个成员上构造一个新的向量,利用这种群体中的个体差异来进行差分变异。相对于传统进化算法来说,DE算法中关键的进化步骤称为差分变异模式。以经典DE算法为标准,在算法迭代过程中,对于当前群体中算法可以随机选择两个向量形成差异扰动向量,并使它们相减构成差分向量,再将该差分向量与一个缩放因子F相乘,接着在群体中随机选择第3个个体,进行相加形成变异个体,最后将这个变异个体与对应目标向量进行杂交和选择操作生成一个新个体保存到下一代。当然也可以使用二项式,指数,或二进制类型的模式。基于上述过程并结合文中的描述,以下将以实数优化问题为背景,具体介绍DE算法的群体表示和各种进化操作。

4.2   群体编码与初始化

经典差分演化算法采用实数编码,这使得算法更适合于求解实数优化问题。第一步是创建在D维空间任意的初始种群, 在群体中第i个个体表示如下:

其中,

表示群体中的一个个体向量,D是待求解问题的维数,N是群体大小。DE算法的初始化方法与其他进化算法类似,为一实数在其自变量范围[l,u]内均匀随机生成N个D维实值向量形成其初始群体,即

4.3   差分变异操作

差分演化算法中最重要的算子是差分变异算子,该算法也正因此算子而得名。假设是当前群体中的第i个个体,其中N是群体大小。通过如下变异操作我们得到变异个体

式中:是从当前群体中随机筛选的3个互不相同的个体,而且它们也不应与目标个体相同;是缩放因子F是一个大于0的实常数,一般情况下F的取值在[0,1]。而通常情况下F=0.5是一个经验值。在具体算法实现中,由于式(1)中的是随机选取的2个个体,F取负数仅代表两者交换位置,并不违背DE算法的原理。除了该算子外,DE研究者还设计了其他的变异算子以区别这些算子,在多个变异算子中比较常用的有:

4.4   交叉操作

差分演化算法采用离散杂交算子,其中包括二项式杂交和指数杂交。在完成变异操作后,杂交算子把通过变异算子产生的变异向量与目标向量,进行离散杂交得到尝试向量。该离散交可描述如下:

其中,[1,D]之间的一个随机整数,保证尝试向量中至少有一维来自变异向量,从而避免与目标向量相同。

4.5   选择操作

差分演化算法通过变异算子和杂交算子产生子群体之后,采用一对一选择算子将子个体与相应的父个体进行比较,较优者保存到下一代群体中。对于最小化优化问题其选择算子可以描述为:

其中,为个体的适应值。完成上述选择操作后,DE算法得到一个新的群体进入下一代,从而可以迭代地继续执行进化搜索过程。

4.6  H控制器设计

1 所示的标准控制系统框图中,从的闭环传递函数等于

则系统的范数表示为,上述鲁棒控制设计问题可以表示为如下形式的优化问题:

其中

对于线性系统,假设控制矩阵

则可以将控制矩阵K中的各个元素表示为待定参数。

表示反馈控制闭环极点,则关于稳定性要求可以转化为

为给定充分小的正数。

控制问题转化为如下多目标优化问题:

             (7)

其中:

因此,差分演化算法的基本结构框架可以描述如下:

步骤l 在一个确定的范围内初始化控制器个体,对参数进行编码、赋初值,并随机初始化群体,令演化代数g=0;

步骤2 随机产生初始种群N,由控制器K的参数确定种群中例子的维数Dim;目标函数的设定,评价初始代群体适应度值,计算每个个体的目标函数的适应度值

步骤3 如果满足结束条件,则算法停止运行,并输出最优解;否则转至步骤4;

步骤4 群体。进行变异、交叉及选择操作,生成下一代群体

步骤5 评价群体

步骤6 演化代数拄g=g+l,转步骤3。

 

仿真实验

考虑图2所示的单位反馈系统结构,P为已知的线性、定常、有限维系统模型,K是控制器。

2 单位反馈系统

给定被控对象传递函数,将灵敏度极小化问题转化成标准控制问题,运用DE算法求得控制器参数为:求得运用MATLAB工具箱中的hinflmi求得控制器参数为:,求得,因此可知DE算法所求得的性能比LMI要更优。

 

 

3  阶跃响应对比图

 

 

4  脉冲响应对比图

结论

本文提出基于DE算法的控制器设计的方法,此方法将控制器设计问题转化为函数优化问题,设定所要求性能指标作为优化的目标函数,将差分演化算法随机搜索的特性应用与控制器求解上,通过仿真实例求出的控制器与传统的LMI方法做对比,DE算法设计的控制器阶跃响应速度快,超调量小。在脉冲响应曲线中可看出,稳定速度比LMI快,但是抑制扰动能力不足。然而DE算法控制器设计同样有不足之处,其要求控制器是固定结构的,即模型结构已知,且求解速度比LMI慢,因此在今后的设计过程中可尝试用降阶的方法设计控制器,即不限于固定结构,又能满足性能指标。

 

参考文献

本刊创刊于1982年,是由自治区科技厅主管、自治区科技信息研究院主办,由自治区科技情报学会协办、国内外公开发行的省级综合性科技刊物,是反映内蒙古自治区科技与经济发展的窗口。杂志入选《中国期刊全文数据(CJFD)》全文收录期刊和《中国学术期刊综合评价数据(CAJCED)统计刊源期刊,《中国核心期刊(遴选)数据库》收录。本刊是公开发行的综合性科技期刊,为月刊,大16开本。本刊坚持以科技创新为目标,融科技、经济、信息、产业、市场为一体,是促进科技成果转化、推动科技进步、加强技术创新,促进经济发展的专业性期刊。