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小波分析在信号处理中的应用

时间:2016-05-03来源: 作者: 点击: 140次


(湖北省电力公司孝感供电公司设计院,湖北 孝感 432000

[摘要]小波分析的理论目前还处于发展阶段,本文通过小波变换对一系列的信号作仿真分析来加深小波分析在信号处理中的研究与应用。首先,本文分析了傅立叶变换和短时傅立叶变换的理论,以及傅立叶变换同小波变换比较,然后重点探讨了小波分解在正弦信号处理中的应用以及小波变换在降噪、压缩和奇异点检测等信号处理中的应用。最后提出小波变换在信号处理中的应用的发展和展望。

[关键词]小波变换;信号处理;分解;降噪;压缩

[中图分类号]   [文献标识码]A    [文章编号]

 

Application of Wavelet Analysis in Signal Processing

QIU Yue

(State Grid Xiaogan Electric Power Supply Company, Xiaogan 430072, Hubei, China)

ABSTRACTThe study on wavelet analysis has still rest on development stage, this paper deepens the research and application of wavelet analysis in signal processingthrough wavelet transform of a series of signal. At first, the Fourier transform and short-time Fourier transform are studied and are compared with wavelet transform. Then the applications of wavelet decomposition in sine signal treatment, wavelet transform in noise-reduction, compression and singularity detection are discussed. In addition, the prospect on application of wavelet analysis in signal processing is proposed.

KEY WORDSwavelet analysis; signal processing; decomposition; noise-reduction; composition.


1 引言

Fourier变换只能告诉我们信号尺度的范围,而无法给出信号的结构以及它蕴含的大小不同尺度的串级过程,即Fourier变换在时空域中没有任何分辨率。此外,傅立叶分析无法解决信号奇异性的位置。20世纪80年代初由法国油气工程师Morlet提出的小波分析(Wavelet Analysis,又称子波分析)

能成功地解决这些问题。因此小波分析是Fourier分析发展史上的一个里程碑。

小波分析一面世,立刻成为国际研究热点。目前小波分析在信号处理、图像压缩、语音编码、模式识别、地震勘探、大气科学以及许多非线性科学领域内取得了大量的研究成果。小波分析之所以广泛得到应用在于:它具有时域和频域同时具有良好的局部性质;能将信号(时间序列)分解成交织在一起的多尺度成分,从而能够不断地聚集到所研究对象的任意微小细节;同时具有数学上严格意义的突变点诊断能力。   

小波分析[2]是一调和分析方法,是Fourier分析发展史上的一个里程碑式的进展,被人们誉为数学“显微镜”。至今,对于其性质随时间稳定不变的信号而言,处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的,而最适用于非稳定信号分析处理的工具是小波分析。所以对于小波分析的重要性、优越性还有小成熟性,研究它是十分迫切与必要的。

2 从傅立叶变换到小波分析

2.1 傅立叶变换

在信号分析中,对信号的基本刻化往往采取两种最基本的形式,即时域形式和频域形式。我们常要求对信号做频域刻画,即傅立叶变换(Fourier Transform)。

傅立叶变换是用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法,它可将时空信号变成频率信号。设信号,其傅立叶变换为:

1

确定了在整个时间域上的频谱特性。Fourier变换是整个时间域内的积分,识别出的频率在什么时候产生并不知道,因此是一种全局的变换,不能反映某一局部时间内信号的频谱特性,即在时间域上没有任何分辨率。这样在信号分析中就面临一对矛盾:时域和频域的局部化矛盾。

2.2 短时傅立叶变换

短时Fourier变换又称加窗Fourier变换,由Gabor 1946年提出。其基本思想是:把信号划分成许多小的时间间隔,用Fourier变换分析每一个时间间隔,以确定该间隔存在的频率,以达到时频局部化之目的。短时Fourier变换的表达式为:

(2)

式中,的共辘,为时限函数,又称窗口函数,起时限作用;起频限作用。结合可起时频局部化作用。大致反映了其在时刻时、频率为的信号成分的相对含量。

    由上面定义知,加窗Fourier变换能实现一定程度的时频局部化,适用于确定性的平稳信号。一旦窗函数确定,窗口的大小和形状固定,则其时、频分辨率是单一的。设分别频域、时域取样步长;当窗函数不变,则对不同的频率成分,在时域上的取样步长均是。由于频率与周期成反比,反映信号高频成分需要较高的时间分辨率(窄的时间窗),反映低频成分需要较低的时间分辨率(宽的时间窗)。因此,加窗Fourier变换对研究高频率信号和低频率信号都不是有效的。

2.3 小波分析

    小波分析是一种窗口的大小固定、形状可变的时频局部化信号分析方法,即在低频[P1] 部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率,在高频部分具有较高的时间分辨率和较低频率分辨率。

表示平方可积的实数空间,即能量有限的空间信号),其Fourier变换为必。当满足容许条件:

(3)

此时,称为基小波或母小波(Mother Wavelet)。由容许条件可以推论出:基小波至少必须满足,也即。也就是说,必须具有带通性质。

    将母小波经伸缩和平移得小波序列,又称子小波:

(4)

其中,为伸缩因子或尺度因子,将基本小波作伸缩;为平移因子,将基本小波作位移。

信号的小波变换定义为:

(5)

,则信号的离散小波变换为:

(6)

由(2-6)式知,对不同的频率成分,在时域上的取样步长为,是可调的,高频者(对应小的m值)采样步长小,低频者(对应大的m值)采样步长大。也就是说,小波变换能实现了窗口的大小固定,形状可变的时频局部化。正是这个意义上小波变换被誉为数学“显微镜”。

2.4 小波分析与傅立叶变换的区别

小波分析是Fourier分析思想上的发展和延拓。二者是相辅相成的,但有以下不同:

(1)傅立叶变换的实质是把能量有限信号分解到以为正交基的空间上;小波变换的实质是把能量有限信号分解到以所构成的空间上。

(2) Fourier变换的基函数为三角函数,具有唯一性;Wavelet变换的小波函数具有多样性。

(3)在频率分析中,Fourier变换具有较好的局部化能力,特别是对于那些频率成分较简单的确定信号,Fourier变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加;但在时域中,它没有局部化能力。

(4)在小波分析中,尺度的值越大相对于傅立叶变换中越小。

3小波变换在信号处理中的应用

    小波变换作为信号处理的一种手段,逐渐被越来越多领域的工作者所重视和应用,并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比,小波变换产生了质的飞跃,在信号处理方而具有更大的优势。其典型应用包括信号降噪和压缩、对普通信号进行分析及检测信号特征等。比如它可以用于电力负载信号的分析与处理,小波变换可以用于语音信号的分析、变换和综合,还可以检测噪声中未知瞬态信号等。

3.1 小波分解在信号分析中的应用

本文对几个常见的信号进行小波分析,以此来观察小波的功能和特性。

3.1.1利用小波分解来识别某一频率的信号

(7)

是三个正弦波叠加而成的信号,下面用db3函数对式(7)信号进行5层分解,结果如下图1-图4:

图1 三个正弦波未组合的信号

Fig.1 Signal of three un-composited sine waves 

图2 三个正弦波未组合后的信号

Fig.2 Signal of three composited sine waves

图3 小波分解后的各层近似信号

Fig.3 Approximate signal after wavelet decomposition

图4 小波分解后的各层细节信号

Fig.4 Detail signal after wavelet decomposition

该信号是由周期为200,20,2的三个正弦信号合成的,它们的采样周期均为1。为方便描述,再次分别层位低频,中频和高频信号。从图3、4可看出,低频、中频和高频信号分别对应于分解的近似信号a4、细节信号d4以及细节信号d1。

细节信号d1包含的主要周期在1与2之间的信号,但这直接从图上如法看出,现将其放大如图5上方的图所示,可看出每个椭圆中包含10次振动,一次来估计周期,可发现其接近2。

细节信号d3和细节信号d4包含中频信号。注意到近似信号a3和a4之间出现了信号的不连续,这是因为中频信号是由这两层共同表达的。中频信号的周期的估计需要使用近似信号a1和a3.将近似信号a1放大,效果如图5下方的图所示,可看到周期为20的中频信号。而周期为2的低频信号在图3的近似信号a4中可清晰地分辨出来。

5 细节信号d1及近似信号a1放大后

Fig.5 Magnified detail signal d1 and approximate signal a1

可见用小波对信号进行分解时,它降信号分解为低频部分(近似信号)和高频部分(细节信号)。

3.1.2含噪的正弦信号

现有一由一个正弦信号和白噪声信号叠加而成的含噪正弦信号:

(8)

通过db6小波对该信号进行6层分解可得到如下图6-8所示:

6 含噪的正弦信号

Fig.6 Noisy sine signal

7 小波分解后的各层近似信号

Fig.7 Approximate signal after wavelet decomposition

8 小波分解后的各层细节信号

Fig.8 Detail signal after wavelet decomposition

如图8所示,小波分解的细节信号是由白噪声得到的,而正弦信号可在图7的近似信号a5中得到,因为在这一层噪声对正弦信号的影响已经可以忽略不计。

3.2 小波变换在信号降噪和压缩中的应用

3.2.1信号的小波降噪

信号的降噪和压缩是小波的重要应用之一,小波能够降噪主要基于小波变换具有如下三大特点:

    (1)多分辨率特性:由于采用了多分辨率的方法,所以可非常好地刻画出信号的非平稳性,如突变和断点等,可以在小同分辨率下根据信号和噪声的分布来消噪。

    (2)去相关性:小波变换可对信号去相关,且噪声在变换后有自化趋势,所以小波域比时域更利于去噪。

    (3)基函数选择灵活:小波变换可以灵活选择基函数,也可根据信号特点和降噪要求选择多带小波、小波变换等,对小同的场介,可以选择小同的小波母函数。

    对信号消噪实质上是抑制信号中的无用部分,增强信号中有用部分的过程。一般地,一维信号消噪的过程可分为如下3个步骤:

(1)一维信号的小波分解。选择一个小波并确定分解的层次,然后进行分解计算。

    (2)小波分解高频系数的阀值量化。对各个分解尺度下的高频系数选择一个阀值进行软阀值量化处理。

    (3)一维小波重构。根据小波分解的最底层低频系数和各层高频系数进行一维小波重构。

    小波分析进行阀值处理一般有下述3种方法。

    (1)默认阀值消噪处理。该方法利用ddencmp函数生成信号的默认阀值,然后利用函数wdencmp进行消噪处理。

(2)给定阀值消噪处理。在实际的消噪处理过程中,阀值和和可以通过实验公式获得,这种阀值比默认阀值的可信度局。

(3)处理。该方法是将小波分解结构中的高频系数全部置为0,即滤掉所有高频信号部分,然后对信号进行小波重构。这种方法比较简单,且消噪后的信号比较平滑,但是容易

丢失信号中的有用成分。

下而利用小波分析对含噪正弦波进行消噪,结果如图9所示。

9 原始信号含噪及去噪后的对比

Fig.9 Comparison of original noisy signal and de-noised signal

从上而三个图可看出:消噪后的信号大体上恢复了原始信号的形状,并明显地除去了噪声所引起的干扰。但是,恢复后的信号和原始信号相比,有明显的改变。这主要是因为在进行消噪处理的过程中所用的分析小波和细节系数阀值不恰当所致。

    下而就用小波分析含噪信号且选取不同阀值进行消噪,结果如图10所示。

10 不同阀值对信号的消噪处理结果

Fig.10 De-noising treatment results of different threshold

    图10中从左到右分别是原始信号、含噪信号、heursure阀值降噪信号、rigrsure阀值降噪信号、sqtwolog阀值降噪信号、minimax阀值降噪信号。从图中可以看出,用不同阀值对噪声信号进行消噪,会得出不同的结果。所以在实际应用中要根据情况选用不同的阀值处理方法来对信号进行分析处理。

3.2.2信号的小波压缩

    应用一维小波分析之所以能够对信号进行压缩,是因为一个比较规则的信号是由一个数据量很小的低频系数所组成的。对低频系数的选择有一个要求,即需要在一个合适的分解层上选择低频系数。主要包括以下三个步骤:①信号的小波分解。②对高频系数进行阀值量化处理。对第1到第N层的高频系数,均可选择小同的阀值,并且用软阀值进行系数的量化。③对量化后的系数进行小波的重构。

    一般地,有两种比较有效的信号压缩方法,一是对信号进行小波尺度的扩展,并且保留绝对值最大的系数。在这种情况下,可选择使用全局阀值,此时仅需输入一个参数即可。二是根据分解后各层的效果来确定某一层的阀值,且每层的阀值可以互小相同。

下而利用小波分析对给定的信号进行压缩处理,以及小波分析在信号消噪和压缩两方而的应用综介起来分析,以便对小波的这两个重要应用有更自观的认识。结果如图11所示。

11 原始信号及其压缩后的信号

Fig.11 Original signal and compressed signal

3.3 小波奇异点的检测及定位消除

信号中小规则的突变部分和和带有十分重要的信息。譬如在故障诊断中,故障通常表现为输出信号发生突变,因而对信号的奇异点(暂态信号)的检测有着非常重要的意义。

下而就利用小波分析对信号的奇异点进行检测,结果如图12至14所示。

12 原始信号

Fig.12 Original signal

13 小波分解的细节信号

Fig.13 Detail signal of wavelet decomposition

图14 消除奇异点后的信号

Fig.14 Signal after eliminatesingularity

  从原始信号波形从图12中可以明显的看到在t=1193和t=1215两处存在奇异值点。进一步利用db3小波对信号进行5层分解,得到的1~3层细节信号如图13所示。奇异点包含在细节信号dl和d2中,且与原信号中的奇异点是同步的。为了消除奇异点,重构信号时令细节信号dl,d2和d3等于零,这样就能消除信号的奇异点,得到的信号波形如14。比较图12和图14可见,奇异值点已经不很明显了。

4总结

本文通过对傅立叶变换和短时傅立叶变换以及小波变换的比较分析,使我们更清楚地认识到小波分析及其在信号处理中的重要作用,并利用Matlab仿真分析了小波变换在信号处理中的各种应用。

    (1)普通信号的分析。利用小波的分解来分析普通的信号,可以清楚地看到它的逼近信号和细节信号。

    (2)消噪作用。通过小波分解、软阀值量化和小波重构这三个步骤可对信号进行消除噪声的处理,可得到一定平滑的效果。但由于小波基和阀值的选取小同,使原始信号和消噪信号不完全重介,存在一定的小精确度。

    (3)压缩作用。通过小波分解、硬阀值量化和小波重构这三个步骤来进行信号的压缩,压缩后的信号基本上除去了冗余信号,得到我们所需要的重要信息,更有利于我们存储和传输。

    (4)奇异点的检测及其定位清除。

5发展与展望

小波分析及其应用正方兴未艾,经过十多年的发展,小波变换也有了初步的较系统的理论和计算方法。小波变换不仅应用于信号处理中,还应用到了多个自然科学领域中,显示出广阔的优越性和应用前景。小波变换在处理信号时的方法也可以应用与水文水治理、谐波检测、图像处理、地理勘测等很多方面。其在信号处理中的研究也具有一定的借鉴性和推广价值。

 

 

参考文献:

[1] 张德丰.MATLAB小波分析[M]. 北京:机械工业出版社,2012.

[2] 唐晓初.小波分析及其应用[M]. 重庆:重庆大学出版社,2006.

[3] 胡广书.数字信号处理—理论、算法与实现[M].北京:清华大学出版社,2006.

[4] 衡彤.小波分析及其应用研究[D],四川大学,2003.

[5] 肖大雪.MATLAB小波分析在信号处理中的应用[J]. 科技广场,2011(1) :60-64.

[6] Mallat S.A,1989, theory for multiresolution signal de-composition: the wavelet representation. [EEE Trans. On PAM](7):674-693.

[7] Cohen A, 1994, Biorthogonal wavelets and dual filter.In:M.Barlanded.WaveletsinImageCommunication. Elsevier,1-26.

[8] Sardy S,et al, 1999, Wavelet shrinkageforunequally

spaced data.Statistics and Computing, 9(1):65-75.

[9]DonohoDavidL,1999,Denoisingbysoft-thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theory, Voll(2):115-122.

[10] Cai T, Brown L, 2005, Wavelet shringkage for noneq-uispaced samples.Annals of Statistics,26(5):1783一1799.uang S C, Huang Y M,  Shieh S M. Vibration and stability of a rotating shaft containing a transerse crack [J], J Sound and Vibration, 1993, 162(3):387-401.

 

 



收稿时间:

[1]邱越,女,国网湖北省电力公司孝感

供电公司设计院,助理工程师,从事

电力系统规划与变电所设计工作


 [P1]小波分析在信号处理中的应用

邱越[1]

(湖北省电力公司孝感供电公司设计院,湖北 孝感 432000

[摘要]小波分析的理论目前还处于发展阶段,本文通过小波变换对一系列的信号作仿真分析来加深小波分析在信号处理中的研究与应用。首先,本文分析了傅立叶变换和短时傅立叶变换的理论,以及傅立叶变换同小波变换比较,然后重点探讨了小波分解在正弦信号处理中的应用以及小波变换在降噪、压缩和奇异点检测等信号处理中的应用。最后提出小波变换在信号处理中的应用的发展和展望。

[关键词]小波变换;信号处理;分解;降噪;压缩

[中图分类号]   [文献标识码]A    [文章编号]

 

Application of Wavelet Analysis in Signal Processing

QIU Yue

(State Grid Xiaogan Electric Power Supply Company, Xiaogan 430072, Hubei, China)

ABSTRACTThe study on wavelet analysis has still rest on development stage, this paper deepens the research and application of wavelet analysis in signal processingthrough wavelet transform of a series of signal. At first, the Fourier transform and short-time Fourier transform are studied and are compared with wavelet transform. Then the applications of wavelet decomposition in sine signal treatment, wavelet transform in noise-reduction, compression and singularity detection are discussed. In addition, the prospect on application of wavelet analysis in signal processing is proposed.

KEY WORDSwavelet analysis; signal processing; decomposition; noise-reduction; composition.


1 引言

Fourier变换只能告诉我们信号尺度的范围,而无法给出信号的结构以及它蕴含的大小不同尺度的串级过程,即Fourier变换在时空域中没有任何分辨率。此外,傅立叶分析无法解决信号奇异性的位置。20世纪80年代初由法国油气工程师Morlet提出的小波分析(Wavelet Analysis,又称子波分析)

能成功地解决这些问题。因此小波分析是Fourier分析发展史上的一个里程碑。

小波分析一面世,立刻成为国际研究热点。目前小波分析在信号处理、图像压缩、语音编码、模式识别、地震勘探、大气科学以及许多非线性科学领域内取得了大量的研究成果。小波分析之所以广泛得到应用在于:它具有时域和频域同时具有良好的局部性质;能将信号(时间序列)分解成交织在一起的多尺度成分,从而能够不断地聚集到所研究对象的任意微小细节;同时具有数学上严格意义的突变点诊断能力。   

小波分析[2]是一调和分析方法,是Fourier分析发展史上的一个里程碑式的进展,被人们誉为数学“显微镜”。至今,对于其性质随时间稳定不变的信号而言,处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的,而最适用于非稳定信号分析处理的工具是小波分析。所以对于小波分析的重要性、优越性还有小成熟性,研究它是十分迫切与必要的。

2 从傅立叶变换到小波分析

2.1 傅立叶变换

在信号分析中,对信号的基本刻化往往采取两种最基本的形式,即时域形式和频域形式。我们常要求对信号做频域刻画,即傅立叶变换(Fourier Transform)。

傅立叶变换是用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法,它可将时空信号变成频率信号。设信号,其傅立叶变换为:

1

确定了在整个时间域上的频谱特性。Fourier变换是整个时间域内的积分,识别出的频率在什么时候产生并不知道,因此是一种全局的变换,不能反映某一局部时间内信号的频谱特性,即在时间域上没有任何分辨率。这样在信号分析中就面临一对矛盾:时域和频域的局部化矛盾。

2.2 短时傅立叶变换

短时Fourier变换又称加窗Fourier变换,由Gabor 1946年提出。其基本思想是:把信号划分成许多小的时间间隔,用Fourier变换分析每一个时间间隔,以确定该间隔存在的频率,以达到时频局部化之目的。短时Fourier变换的表达式为:

(2)

式中,的共辘,为时限函数,又称窗口函数,起时限作用;起频限作用。结合可起时频局部化作用。大致反映了其在时刻时、频率为的信号成分的相对含量。

    由上面定义知,加窗Fourier变换能实现一定程度的时频局部化,适用于确定性的平稳信号。一旦窗函数确定,窗口的大小和形状固定,则其时、频分辨率是单一的。设分别频域、时域取样步长;当窗函数不变,则对不同的频率成分,在时域上的取样步长均是。由于频率与周期成反比,反映信号高频成分需要较高的时间分辨率(窄的时间窗),反映低频成分需要较低的时间分辨率(宽的时间窗)。因此,加窗Fourier变换对研究高频率信号和低频率信号都不是有效的。

2.3 小波分析

    小波分析是一种窗口的大小固定、形状可变的时频局部化信号分析方法,即在低频[P1] 部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率,在高频部分具有较高的时间分辨率和较低频率分辨率。

表示平方可积的实数空间,即能量有限的空间信号),其Fourier变换为必。当满足容许条件:

(3)

此时,称为基小波或母小波(Mother Wavelet)。由容许条件可以推论出:基小波至少必须满足,也即。也就是说,必须具有带通性质。

    将母小波经伸缩和平移得小波序列,又称子小波:

(4)

其中,为伸缩因子或尺度因子,将基本小波作伸缩;为平移因子,将基本小波作位移。

信号的小波变换定义为:

(5)

,则信号的离散小波变换为:

(6)

由(2-6)式知,对不同的频率成分,在时域上的取样步长为,是可调的,高频者(对应小的m值)采样步长小,低频者(对应大的m值)采样步长大。也就是说,小波变换能实现了窗口的大小固定,形状可变的时频局部化。正是这个意义上小波变换被誉为数学“显微镜”。

2.4 小波分析与傅立叶变换的区别

小波分析是Fourier分析思想上的发展和延拓。二者是相辅相成的,但有以下不同:

(1)傅立叶变换的实质是把能量有限信号分解到以为正交基的空间上;小波变换的实质是把能量有限信号分解到以所构成的空间上。

(2) Fourier变换的基函数为三角函数,具有唯一性;Wavelet变换的小波函数具有多样性。

(3)在频率分析中,Fourier变换具有较好的局部化能力,特别是对于那些频率成分较简单的确定信号,Fourier变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加;但在时域中,它没有局部化能力。

(4)在小波分析中,尺度的值越大相对于傅立叶变换中越小。

3小波变换在信号处理中的应用

    小波变换作为信号处理的一种手段,逐渐被越来越多领域的工作者所重视和应用,并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比,小波变换产生了质的飞跃,在信号处理方而具有更大的优势。其典型应用包括信号降噪和压缩、对普通信号进行分析及检测信号特征等。比如它可以用于电力负载信号的分析与处理,小波变换可以用于语音信号的分析、变换和综合,还可以检测噪声中未知瞬态信号等。

3.1 小波分解在信号分析中的应用

本文对几个常见的信号进行小波分析,以此来观察小波的功能和特性。

3.1.1利用小波分解来识别某一频率的信号

(7)

是三个正弦波叠加而成的信号,下面用db3函数对式(7)信号进行5层分解,结果如下图1-图4:

图1 三个正弦波未组合的信号

Fig.1 Signal of three un-composited sine waves 

图2 三个正弦波未组合后的信号

Fig.2 Signal of three composited sine waves

图3 小波分解后的各层近似信号

Fig.3 Approximate signal after wavelet decomposition

图4 小波分解后的各层细节信号

Fig.4 Detail signal after wavelet decomposition

该信号是由周期为200,20,2的三个正弦信号合成的,它们的采样周期均为1。为方便描述,再次分别层位低频,中频和高频信号。从图3、4可看出,低频、中频和高频信号分别对应于分解的近似信号a4、细节信号d4以及细节信号d1。

细节信号d1包含的主要周期在1与2之间的信号,但这直接从图上如法看出,现将其放大如图5上方的图所示,可看出每个椭圆中包含10次振动,一次来估计周期,可发现其接近2。

细节信号d3和细节信号d4包含中频信号。注意到近似信号a3和a4之间出现了信号的不连续,这是因为中频信号是由这两层共同表达的。中频信号的周期的估计需要使用近似信号a1和a3.将近似信号a1放大,效果如图5下方的图所示,可看到周期为20的中频信号。而周期为2的低频信号在图3的近似信号a4中可清晰地分辨出来。

5 细节信号d1及近似信号a1放大后

Fig.5 Magnified detail signal d1 and approximate signal a1

可见用小波对信号进行分解时,它降信号分解为低频部分(近似信号)和高频部分(细节信号)。

3.1.2含噪的正弦信号

现有一由一个正弦信号和白噪声信号叠加而成的含噪正弦信号:

(8)

通过db6小波对该信号进行6层分解可得到如下图6-8所示:

6 含噪的正弦信号

Fig.6 Noisy sine signal

7 小波分解后的各层近似信号

Fig.7 Approximate signal after wavelet decomposition

8 小波分解后的各层细节信号

Fig.8 Detail signal after wavelet decomposition

如图8所示,小波分解的细节信号是由白噪声得到的,而正弦信号可在图7的近似信号a5中得到,因为在这一层噪声对正弦信号的影响已经可以忽略不计。

3.2 小波变换在信号降噪和压缩中的应用

3.2.1信号的小波降噪

信号的降噪和压缩是小波的重要应用之一,小波能够降噪主要基于小波变换具有如下三大特点:

    (1)多分辨率特性:由于采用了多分辨率的方法,所以可非常好地刻画出信号的非平稳性,如突变和断点等,可以在小同分辨率下根据信号和噪声的分布来消噪。

    (2)去相关性:小波变换可对信号去相关,且噪声在变换后有自化趋势,所以小波域比时域更利于去噪。

    (3)基函数选择灵活:小波变换可以灵活选择基函数,也可根据信号特点和降噪要求选择多带小波、小波变换等,对小同的场介,可以选择小同的小波母函数。

    对信号消噪实质上是抑制信号中的无用部分,增强信号中有用部分的过程。一般地,一维信号消噪的过程可分为如下3个步骤:

(1)一维信号的小波分解。选择一个小波并确定分解的层次,然后进行分解计算。

    (2)小波分解高频系数的阀值量化。对各个分解尺度下的高频系数选择一个阀值进行软阀值量化处理。

    (3)一维小波重构。根据小波分解的最底层低频系数和各层高频系数进行一维小波重构。

    小波分析进行阀值处理一般有下述3种方法。

    (1)默认阀值消噪处理。该方法利用ddencmp函数生成信号的默认阀值,然后利用函数wdencmp进行消噪处理。

(2)给定阀值消噪处理。在实际的消噪处理过程中,阀值和和可以通过实验公式获得,这种阀值比默认阀值的可信度局。

(3)处理。该方法是将小波分解结构中的高频系数全部置为0,即滤掉所有高频信号部分,然后对信号进行小波重构。这种方法比较简单,且消噪后的信号比较平滑,但是容易

丢失信号中的有用成分。

下而利用小波分析对含噪正弦波进行消噪,结果如图9所示。

9 原始信号含噪及去噪后的对比

Fig.9 Comparison of original noisy signal and de-noised signal

从上而三个图可看出:消噪后的信号大体上恢复了原始信号的形状,并明显地除去了噪声所引起的干扰。但是,恢复后的信号和原始信号相比,有明显的改变。这主要是因为在进行消噪处理的过程中所用的分析小波和细节系数阀值不恰当所致。

    下而就用小波分析含噪信号且选取不同阀值进行消噪,结果如图10所示。

10 不同阀值对信号的消噪处理结果

Fig.10 De-noising treatment results of different threshold

    图10中从左到右分别是原始信号、含噪信号、heursure阀值降噪信号、rigrsure阀值降噪信号、sqtwolog阀值降噪信号、minimax阀值降噪信号。从图中可以看出,用不同阀值对噪声信号进行消噪,会得出不同的结果。所以在实际应用中要根据情况选用不同的阀值处理方法来对信号进行分析处理。

3.2.2信号的小波压缩

    应用一维小波分析之所以能够对信号进行压缩,是因为一个比较规则的信号是由一个数据量很小的低频系数所组成的。对低频系数的选择有一个要求,即需要在一个合适的分解层上选择低频系数。主要包括以下三个步骤:①信号的小波分解。②对高频系数进行阀值量化处理。对第1到第N层的高频系数,均可选择小同的阀值,并且用软阀值进行系数的量化。③对量化后的系数进行小波的重构。

    一般地,有两种比较有效的信号压缩方法,一是对信号进行小波尺度的扩展,并且保留绝对值最大的系数。在这种情况下,可选择使用全局阀值,此时仅需输入一个参数即可。二是根据分解后各层的效果来确定某一层的阀值,且每层的阀值可以互小相同。

下而利用小波分析对给定的信号进行压缩处理,以及小波分析在信号消噪和压缩两方而的应用综介起来分析,以便对小波的这两个重要应用有更自观的认识。结果如图11所示。

11 原始信号及其压缩后的信号

Fig.11 Original signal and compressed signal

3.3 小波奇异点的检测及定位消除

信号中小规则的突变部分和和带有十分重要的信息。譬如在故障诊断中,故障通常表现为输出信号发生突变,因而对信号的奇异点(暂态信号)的检测有着非常重要的意义。

下而就利用小波分析对信号的奇异点进行检测,结果如图12至14所示。

12 原始信号

Fig.12 Original signal

13 小波分解的细节信号

Fig.13 Detail signal of wavelet decomposition

图14 消除奇异点后的信号

Fig.14 Signal after eliminatesingularity

  从原始信号波形从图12中可以明显的看到在t=1193和t=1215两处存在奇异值点。进一步利用db3小波对信号进行5层分解,得到的1~3层细节信号如图13所示。奇异点包含在细节信号dl和d2中,且与原信号中的奇异点是同步的。为了消除奇异点,重构信号时令细节信号dl,d2和d3等于零,这样就能消除信号的奇异点,得到的信号波形如14。比较图12和图14可见,奇异值点已经不很明显了。

4总结

本文通过对傅立叶变换和短时傅立叶变换以及小波变换的比较分析,使我们更清楚地认识到小波分析及其在信号处理中的重要作用,并利用Matlab仿真分析了小波变换在信号处理中的各种应用。

    (1)普通信号的分析。利用小波的分解来分析普通的信号,可以清楚地看到它的逼近信号和细节信号。

    (2)消噪作用。通过小波分解、软阀值量化和小波重构这三个步骤可对信号进行消除噪声的处理,可得到一定平滑的效果。但由于小波基和阀值的选取小同,使原始信号和消噪信号不完全重介,存在一定的小精确度。

    (3)压缩作用。通过小波分解、硬阀值量化和小波重构这三个步骤来进行信号的压缩,压缩后的信号基本上除去了冗余信号,得到我们所需要的重要信息,更有利于我们存储和传输。

    (4)奇异点的检测及其定位清除。

5发展与展望

小波分析及其应用正方兴未艾,经过十多年的发展,小波变换也有了初步的较系统的理论和计算方法。小波变换不仅应用于信号处理中,还应用到了多个自然科学领域中,显示出广阔的优越性和应用前景。小波变换在处理信号时的方法也可以应用与水文水治理、谐波检测、图像处理、地理勘测等很多方面。其在信号处理中的研究也具有一定的借鉴性和推广价值。

 

 

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收稿时间:

[1]邱越,女,国网湖北省电力公司孝感

供电公司设计院,助理工程师,从事

电力系统规划与变电所设计工作


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